常微分方程A答案.doc

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1、常微分方程试题(A)（评分标准）一．填空题（每小题4分，本大题共16分）.1．方程的通解为．2．初值问题的解与积分方程的解等价.如果取，试用逐步逼近法求=。3．将初值问题化为与之等价的一阶线性方程组的初值问题为．4.当满足时,的所有解当，都趋近于零。二．判断题，在正确命题后面的括号内打√，错误命题后面的括号内打（每小题4分，本大题共16分）.1．方程sin=0是三阶线性方程。（）2．是恰当方程的充分必要条件是．（√）3．设A,B是两个阶常数矩阵，则exp(A+B)=expA+expB。()4．如果矩阵A具有n个特征向量，它们对应的特征值分别为

2、，那么矩阵，，…，]，是常系数线性微分方程组的一个基解矩阵．（）三：解微分方程（每小题7分，本大题共35分）．1.解：先解齐次方程，通解为。…………………………………(3分)用常数变易法，令非齐次方程通解为，代入原方程，化简得。…………(5分)积分得。代回后即得原方程通解…………(7分)2．解：这里，，这时，是恰当方程。…………(2分)积分，得。…………(4分)解，得到…………(6分)所以，所以，原方程的通解为…………(7分)3．解：令，则方程化为…………(2分)可以得到即，…………(4分)所以，这里为任意常数。…………(7分)4．解：特征方

3、程的根为是重根，…………(2分)因此方程有四个实值解，…………(4分)故通解为。…………(7分)5．解：特征方程有重根，…………(2分)因此对应齐线性方程的通解为，其中为任意常数。…………(4分)现求原方程的一个特解求形如的特解，代入原方程得到，…………(6分)所以，所以原方程的通解为：.…………(7分)四：求下面微分方程组的通解（每小题7分，本大题共14分）.1.，解：系数矩阵的特征根为，，，…………(2分)它们分别对应的特征向量为：…………(5分)所以原方程的通解为：++。…………(7分)2.，解：系数矩阵的特征根为，，…………(2分)对

4、应于特征根为的特征向量为：。可以得到原方程的一个解，再设原方程有下面形式的解：，代入原方程可以得到，，，所以和是原方程的解，…………(5分)因此原方程的通解为++，…………(7分)五：（本题7分）如果是在区间上的基解矩阵，是非奇异矩阵，那末，也是在区间上的基解矩阵.证明：首先，根据解矩阵的定义易知，方程的任一解矩阵必满足关系，（）…………(2分)反之亦然。现令（）微分上式得：，即是的解矩阵。…………(5分)又由的非奇异性，有=（）。所以即是的基解矩阵。…………(7分)六：判断下面方程零解的稳定性（本题7分）解：取定正函数，…………(2分)则有

5、=,…………(5分)可见为定负的。所以零解是渐近稳定的。…………(7分)七:（本题5分）假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间I上的两个解．求证：若<，，则在区间I上必有<成立．证明仅证方向，（反之亦然）．…………(1分)假设存在，使得>（=不可能出现，否则与解惟一矛盾令=-，那么=-<0，=->0…………(3分)由连续函数介值定理，存在，使得=-=0即=这与解惟一矛盾。…………(5分)