导数压轴满分之同构式大法.doc

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1、学习数学，领悟数学，秒杀数学。第五章导数专题7指对跨阶系列二之同构式构造秒杀秘籍：同构式问题构造xex与xlnx我们发现，在，而在，在，在考查同构式的类型中，构造来求取值范围，构造来判断零点个数及分布；同构式模型：①，②；③【例1】对于任意的不等式恒成立，则a的取值范围是．解：，故只需，由于在，故，，即.【例2】（2018•长郡月考）已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是．解：由题意得：恒成立，则需要满足，显然恒成立，故只需，即.【例3】对，不等式恒成立，则实数的最小值为（）A．B．C．D．246学习数学，领悟数学，秒杀数学。第五章导数

2、解：由题意得：，令，此时要构造过原点的切线放缩模型，故，即.【例4】（2018•武邑期中）设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是．解：，即恒成立，.【例5】（2019•衡水金卷）易知，不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值是（）A．B．C．D．解：由题意得：对恒成立，此时，即，选D.【例6】（2019•武汉调研）已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．解：由题意可知：，即构成同构式，只需，，故选B.【例7】已知方程有3个实根，则实数的取值范围是．解：构造，根据定义域可知，如图，当时，，此时，仅存

3、在，使，此时只存在两个实根，不合题意；当时，则一定存在或者（偏移情况），考虑到极值是左偏的，故时，，定义域要求完全覆盖，故，即.246学习数学，领悟数学，秒杀数学。第五章导数秒杀秘籍：放对再放指，常数是关键关于指对跨阶，由于属于递增过快，若不是存在或者之类的可以直接消除对数的，一般考虑对递增较慢的进行放缩，但在区间内重点考虑切线放缩，通常放缩有：①；②（取等条件）；③（取等条件）；④；⑤（取等条件）；⑥；⑦（取等条件）；⑧（取等条件，⑦和⑧根据找基友证明）【例8】（2019•榆林一模）已知不等式，对于任意的恒成立，则的最大值．解：要取等

4、，看系数，，由于取等条件不一，且并未消除常数项，则此放缩法失效，考虑消除常数项，故构造取等条件是，此时取等的，故，即．【例9】（2019•重庆巴蜀月考）已知．（1）当时，求函数在上的最小值；（2）若，求证：.解：（1）时，，，当时，，当时，，故；（2）思路：此题若放缩，定会遇到很多问题，所以根据“放对再放指”的原理，由于，先放，由于此题无常数项，故不采用来增加常数项，由于，的出现暴露了需要“降次”，故试用，则可得，此时只需证明246学习数学，领悟数学，秒杀数学。第五章导数，此时再利用“指数找基友”即可证明不等式，或者放缩成也可以；证明：

5、，由于，故，故只需，令，，当时，即，故只需证，只需证令，，故在，在当时，，即证．【例10】（2018•甘肃会宁）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）证明：解（1）参考例9；（2）思路1：第（1）问不会白给，故利用“分而治之”，此过程一定要有凹凸函数的反转，构造，利用；思路2：“放对后放指”，要证明，只需证明，故只需证明显然失败，失败区间在，故思考取等区间在上的切线放缩式子，构造，取等条件为，即，只需证，这时需要涉及找点的知识，虽然此式已经构造成功，但这里不详叙述；构造利用切线放缩，过原点切线，，故恒成立．达标训练1．（2018•广东

6、期末）已知函数的定义域是，其导函数是，且，则满足不等式的实数的集合是（）A．B．C．D．2．（2019•沈阳一模）已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3．（2019•全国Ⅰ卷调研）设实数，若对任意的，若不等式恒成立，则的最大值为（）A．B．C．D．4．（2018•衡水中学）已知是方程的实根，则关于实数的判断正确的是（）246学习数学，领悟数学，秒杀数学。第五章导数A．B．C．D．5．（2019•长沙测试）若，恒有，则实数的最小值为（）A．B．C．D．6．（2018•南通期末）已知函数的定义域为，是函数的导

7、函数，对任意的，恒成立，则关于实数的不等式的解集是．7.（2018•芮城期末）已知函数．（1）设是的极值点，求的值并求的单调区间；（2）若不等式在恒成立，求的取值范围．8.（2018•浙江期末）已知函数．（1）求函数的单调区间；246学习数学，领悟数学，秒杀数学。第五章导数（2）若，求证：．9.（2018•德阳模拟）已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若曲线在点处的切线垂直于直线，求证：当时，．10.（2018•荆州一模）已知函数，，为函数的导函数．246学习数学，领悟数学，秒杀数学。第五章导数（1）若，求证：对任意，；（2）若有两

8、个极值点，求实数的取值范围．11.（2018•新课标Ⅰ）已知函数．（1）设是的极值点，求，并求的单调区间；（2）证明：当时，．246学习数学，领悟数学，秒杀数学。第五章导数12.（2014•全国卷I）设函数