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1、·············208年第期解题研究⋯⋯中高中版小学教今旧“,·数学大师陈省身先生说数学的魅力在于使人·一二”一其中的系数为,”合知告夸们不用蛮力而巧妙简捷地解决问题著名数学家华“”、“,,,巧妙的方法轻松简捷地解决了问题罗庚教授说数学是一个原则无数内容一个方法、”一同构式原理溯源到处有用,,“”“”“”“”,一般地对于结构相同的两个方程或等式我们不用蛮力巧妙无数内容到处有用用“”,,、,称为同构式例如①②两式的结构相同都是这些理念来审视考察年江苏省高考试题就,,二是一道好的试题型的方程故称其为同构式一般地若,有两直线方程如图在平面直角一一,,③④坐标系中设三角
2、二形的顶点分别为,,,一一一二,、,、,刀。那么③④得凡卜、,,二二点沪在线段上不同时成立就是欲求的直线的“”,、、异于端点设子方程真可谓巧哉妙也但若此方法是偶然出现与,“”,“、孤立存在的则虽璀璨却像昙花一现的过眼烟为非零常数若直线”,,、分别与边`交于云似数学天空里的一颗转瞬即逝的流星缺乏生命,,,、力可是通过溯源我们可以发现同构式扎根于平点某同学已正确算得直线。的方程是李`···、,·,`寸,,”`一一”一、、、一一一“、实寻常深厚肥沃的土壤之中二,一二那,,与上与么直线的方程为〔对于不同的两个数与若有下列两式产、其中护·一,二`,。。,“二十二一含与阮则两式碰合,
3、”,,撞下标消失立即知与就是一元二次方程给出的基本都是字母若试图求出两条直线,,,“的两根原理很简单但帮助我们解决的与厂的交点的坐标再求直线口的方程即用蛮”,,问题何止百道力将陷人难以自拔的困境也难以攻克其实很简。二单若不同的两条直线`和。,,了二叮刃不同时为相交于点伽二直线的方程为手上①,、,求过不同的两点的直线方程,,十因为点妇是两条直线的交点直线的方程为三上②。,。,叮二气尸叮二所以,一一·一二尸②①得点的,,,二告且助⑤含知·、,气。二,,⑥坐标满足此方程又原点的坐标也满足此方程且,,其实这里只是交换了两个字母的位置但观察问两点确定一条直线故直线的方程即为,,,告
4、题的视角就大不相同了于是就可知点与一··········⋯⋯····中小学教高中版解题研究⋯⋯⋯年戮手第期,。,`二都在直线上又两点确定一'二`一“。却,,、。十茹澎条直线故过两点的直线即为盯设相交文,工,两圆`十二气`,一戈。,印,`】,,,万了,。,⑦,,一一二·分别整理得对却,,,⑨,,二从凡凡⑧一。一,⑩求这两个圆的公共弦所在直线的方程,,、,一丸,由同构式⑨⑩立即可知是方程一⑦⑧即得两圆公共弦所在直线的方程,,。,,,。,二朴二气一了一二二助列的二根则故成等差数一从凡凡、,不同时成立。二例安徽卷理设椭圆年上海曾以此题为背景命制了一道出彩的其其一数学高考试题。,,
5、,,一,“过点万且左焦点为万还可以举出更多的精彩例子称其为举一反”,,“求椭圆的方程三真有点低估同构式的价值了应该说举一反,”当过点的动直线与椭圆相交于不·、、,、同的两个点且在线段上取点满足庐二同构式的变式应用·,,二求证点总在某定直线上同构式的巨大作用就在于当我们领悟了它的精或讨可,,髓后能在不同的问题情境中运用其原理的本质出解析由已知易圆。的方程、,·、'',撇,“卜洲`形`答奇制胜灵活巧妙地解决问题体现的是从基本到变一一一一一“一、,、,、,式从有限到无限的思想综观年其他各地的高设口了了了,,考试题我们惊喜地发现同构式在多处闪耀着它智慧如图由题意知、、、,的光芒淤
6、菇讨·例山东卷理。,灵均不为且由已知,题节选如图设抛,,百二布萨物线可得一二一碑成图为直线知上任意,、、、,一点过引抛物线的尸月四点共线,,、二二土,则可设且入,两条切线切点分别为前布可亦、、,,求证三点的横,'图坐标成等差数列一人`'丫一人产知解析由扩得却一人`儿一一入、则可设`一一,、,,、,命因为点了儿都在椭圆上将二,,十二,,的坐标分别代人椭圆方程得二,对令求导得''人人甲,`,`十''人人、则两条切线的斜率分别为生丝一'一'人一'一入,。,一,入又设却分别整理得十一所以切线的方程为,一人云了一人二刮对犷⑩,一人,一了一十二一二。吞的方程为丝,,上述两式又是同构式
7、目标是消去而犷的系、,毒丫分别在直线对注了召上丫下转第页夕·,⋯·····中小学数今高中版解题研究⋯⋯年第期粼卜一一二下平移可生的图象一数犷的图象上得与函数故其成立的充要条件是即,二,交点的横坐标二都在直线的上方即方程,,画图可知两者有且仅有两个交点分别在,,,、,盛一一上一三象限的两根分别在万,二·又函数的图象与直线,的交点是,,,二二,十。一一二令又函数八生在,,,一一,一一二一,,,一左刀二二上均是增函数爪都在直线的下方即方程,,,两根分别在一二一二二生的上',闷〕一,。一,,,一又函数月生在所以其成立的充要条件是即,,
