腰三角形的性质与判定精讲精练(含答案).doc

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1、等腰三角形的性质与判定一、重点和难点都是等腰三角形的性质和判定1.尺规作图尺规作图与通常的画图题不同，它规定只准用直尺和圆规为工具，而且每一步都必须有根有据不能随便画。对于较复杂的作图题，要经过严格的分析，才能找到作图的根据和方法，这对推理能力的要求比较高。2.等腰三角形的性质与判定（1）性质性质定理：等腰三角形的两个底角相等。定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。判定定义：有两边相等的三角形是等腰三角形。判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形。推论1三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

2、。推论3在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。3.等腰三角形性质与判定的应用（1）计算角的度数　　利用等腰三角形的性质，结合三角形内角和定理及推论计算角的度数，是等腰三角形性质的重要应用。①已知角的度数，求其它角的度数；②已知条件中有较多的等腰三角形（此时往往设法用未知数表示图中的角，从中得到含这些未知数的方程或方程组）；（2）证明线段或角相等；（3）有等腰三角形条件时的常用辅助线。如图：若AB=AC①作AD⊥BC于D，必有结论:∠1=∠2，BD=DC②若BD=DC，连结AD，必有结论：∠1=∠2，AD⊥BC③作AD平分∠BA

3、C必有结论：AD⊥BC，BD=DC作辅助线时，一定要作满足其中一个性质的辅助线，然后证出其它两个性质，不能这样作：作AD⊥BC，使∠1=∠2.二、例题分析例1已知一腰和底边上的高，求作等腰三角形。分析：我们首先在草稿上画好一个示意图，然后对照此图写出已知和求作并构思整个作图过程……已知：线段a、h求作：△ABC，使AB=AC=a，高AD=h作法：1、作PQ⊥MN，垂足为D；2、在DM上截取DA=h；3、以点A为圆心，以a为半径作弧，交PQ于点B、C；4、连结AB、AC；则△ABC为所求的三角形。例2如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于

4、E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。证明：∵AB=AC∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E∴∠BEC=∠CDB=90°∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90°（直角三角形两个锐角互余）∴∠1=∠2（等角的余角相等）∴BM=CM（等角对等边）说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。例2已知：如图，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC。求证：AC=BD。证明：∵BD=DC，∠B=15°∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边）∴∠ADC=∠B+∠DCB=3

5、0°（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∵∠A=90°∴AC=DC∴AC=BD例3如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB。求∠A的度数。分析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过程清晰明了。解：设∠A=x，∠EBD=y，∠C=z∵AB=AC∴∠ABC=∠C=z∵BD=BC∴∠C=∠BDC=z∵BE=DE∴∠EBD=∠EDB=90°∵AD=DE∴∠A=∠AED=x又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠AED=∠EBD+∠EDB（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠A+∠AB

6、C+∠ACB=180°（三角形内角和为180°）∴解得x=45°即：∠A=45°例2已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点。求证：△MDE是等腰三角形。分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。证明：连结CM∵∠C=90°，BC=AC∴∠A=∠B=45°∵M是AB的中点∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°∴∠B=∠MCE=∠MCB∴CM=MB（等角对等边）在△BDE和△CEM中∴△BDM≌△CE

7、M（SAS）∴MD=ME∴△MDE是等腰三角形例3如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，求证：△DEF也是等边三角形。证明：∵△ABC是等边三角形∴AC=BC，∠A=∠C∵CE=BD∴BC－BC=AC－CE∴CD=AE在△AEF和△CDE中∴△AEF≌△CDE（SAS）∴EF=DE同理可证EF=DF∴EF=DE=DF∴△DEF是等边三角形说明：证明等边三角形有三种思路：①证明三边相等②证明三角相等③证明三角形是有一个角为60°的等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式进行求解。三、练习题1、等腰三角形顶角为36°，底角为_________。2、等腰三角形顶角和

8、一个底角之和为100°，