初三数学切线的判定与性质知识精讲

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1、初三数学切线的判定与性质知识精讲知识考点:1、掌握切线的判定及其性质的综合运用,在涉及切线问题时,常连结过切点的半径,切线的判定常用以下两种方法:一是连半径证垂直,二是作垂线证半径。2、掌握切线长定理的灵活运用,掌握三角形和多边形的内切圆,三角形的内心。精典例题:【例1】如图,AC为⊙O的直径,B是⊙O外一点,AB交⊙O于E点,过E点作⊙O的切线,交BC于D点,DE=DC,作EF⊥AC于F点,交AD于M点。(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)EM=FM。分析:(1)由于AC为直径,可考虑连结EC,构造直角三角形来解题

2、,要证BC是⊙O的切线,证到∠1+∠3=900即可;(2)可证到EF∥BC,考虑用比例线段证线段相等。证明:(1)连结EC,∵DE=CD,∴∠1=∠2∵DE切⊙O于E,∴∠2=∠BAC∵AC为直径,∴∠BAC+∠3=900∴∠1+∠3=900,故BC是⊙O的切线。(2)∵∠1+∠3=900,∴BC⊥AC又∵EF⊥AC,∴EF∥BC∴∵BD=CD,∴EM=FM【例2】如图,△ABC中,AB=AC,O是BC的中点,以O为圆心的圆与AB相切于点D。求证:AC是⊙O的切线。分析:由于⊙O与AC有无公共点未知,因此我们从圆心O

3、向AC作垂线段OE,证OE就是⊙O的半径即可。证明:连结OD、OA,作OE⊥AC于E∵AB=AC,OB=OC,∴AO是∠BAC的平分线∵AB是⊙O的切线,∴OD⊥AB又∵OE⊥AC,∴OE=OD∴AC是⊙O的切线。【例3】如图,已知AB是⊙O的直径,BC为⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD,OA=。(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)求的值;(3)若AD+OC=,求CD的长。分析:(1)要证CD是⊙O的切线,由于D在⊙O上,所以只须连结OD,证OD⊥DC即可;(2)求的值,一般是利用相似把转化为其它线段长的乘积,

4、若其它两条线段长的乘积能求出来,则可完成;(3)由,AD+OC=可求出AD、OC,根据勾股定理即可求出CD。证明:(1)连结OD,证∠ODC=900即可;(2)连结BD∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=900∵∠OBC=900,∴∠ADB=∠OBC又∠A=∠3,∴△ADB∽△OBC∴∴(3)由(2)知,又知AD+OC=∴AD、OC是关于的方程的两根解此方程得,∵OC>,∴OC=∴CD=探索与创新:【问题一】如图,以正方形ABCD的边AB为直径,在正方形内部作半圆,圆心为O,CG切半圆于E,交AD于F,交BA的延长线于G

5、,GA=8。(1)求∠G的余弦值;(2)求AE的长。略解:(1)设正方形ABCD的边长为,FA=FE=6,在Rt△FCD中,,,解得。∴∵AB∥CD,∴∠G=∠FCD,∴(2)连结BE,∵CG切半圆于E,∴∠AEG=∠GBE∵∠G为公共角,∴△AEG∽△EBG∴在Rt△AEB中,可求得【问题二】如图,已知△ABC中,AC=BC,∠CAB=(定值),⊙O的圆心O在AB上,并分别与AC、BC相切于点P、Q。(1)求∠POQ;(2)设D是CA延长线上的一个动点,DE与⊙O相切于点M,点E在CB的延长线上,试判断∠DOE的大

6、小是否保持不变,并说明理由。分析:(1)连结OC,利用直角三角形的性质易求∠POQ;(2)试将∠DOE用含的式子表示出来,由于为定值,则∠DOE为定值。解:(1)连结OC∵BC切⊙O于P、Q,∴∠1=∠2,OP⊥CA,OQ⊥CB∵CA=CB,∴CO⊥AB∴∠COP=∠CAB,∠COQ=∠CBA∵∠CAB=,∴∠POQ=∠COP+∠COQ=(2)由CD、DE、CE都与⊙O相切得:∠ODE=∠CDE,∠OED=∠CED∴∠DOE=1800-(∠ODE+∠OED)=1800-(∠CDE+∠CED)=1800-(1800-∠

7、ACB)=1800-[1800-(1800-)]=∴∠DOE为定值。跟踪训练:一、选择题:1、“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是()A、经过半径外端点的直线是圆的切线;B、垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线;C、垂直于半径的直线是圆的切线;D、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。2、在Rt△ABC中,∠A=900,点O在BC上,以O为圆心的⊙O分别与AB、AC相切于E、F,若AB=,AC=,则⊙O的半径为()A、B、C、D、3、正方形ABCD中,AE切以BC为直径的半圆于E,交CD于F,则CF

8、∶FD=()A、1∶2B、1∶3C、1∶4D、2∶54、如图,过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PA、PB,切点分别为A、B,连结AB,在AB、PB、PA上分别取一点D、E、F,使AD=BE,BD=AF,连结DE、DF、EF,则∠EDF=()A、900-∠PB、900-∠PC、1800-∠PD、450-∠P二、填空题:5、已知PA、PB是⊙O的切线

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