初中数学一元二次方程的解法.doc

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1、解一元二次方程:例1x2-4-(2x+4)=0（因式分解法）解：（x+2)(x-2)-2(x+2)=0(x+2)[(x-2)-2]=0(x+2)(x-4)=0所以x1=-2，x2=4.（配方法）解：x2-2x-8=0X2-2x=8X2-2x+(-1)2=8+(-1)2即(x-1)2=9X-1=3所以x1=4,x2=-2.（公式法）解：x2-2x-8=0→Δ=(-2)2-4×1×(-8)=36>0所以x1,2=即x1=4,x2=-2.（“x2+(a+b)x+ab=0→(x+a)(x+b)=0”法）解：x2-2x+(-4)=0(X-4)(x+2)=0

2、所以x1=4,x2=-2.1例2用配方法解下列一元二次方程：(1)x2-6x+5=0;(2)2x2+4x-3=0;(3)9x2+6x-1=0;(4)4x2-12x+m=0(m为任意实数）.解：(1)x2-6x=-5X2-6x+(-3)2=-5+(-3)2即(x-3)2=4X-3=2所以x1=5,x2=1.(2)x2+2x=X2+2x+12=+12(X+1)2=X+1=所以x1=-1+,x2=-1-(3)(3x)2+2×3x=1(3x)2+2×3x×1+12=1+12(3x+1)2=23x+1=所以x1=,x2=-.2(4)(2x)2-2×2x×3

3、=-m(2x)2-2×2x×3+32=-m+32(2x-3)2=9-m所以①当9-m≥0即m≤9时，2x-3=X1=,x2=;②当9-m<0即m>9时，方程无实根.例3用公式法解下列一元二次方程：(1)2x2-3x+1=0;(2)3x2+1=2x;(3)x(1-2x)+3=0；(4)x2-2x=t(t为任意实数）.解：(1)由一元二次方程的一般式知a=2,b=-3,c=1;→Δ=b2-4ac=(-3)2-4×2×1=1>0所以x1,2=即x1=1,x2=.(2)方程整理为3x2-2x+1=0→Δ=(-2)2-4×3×1=-8<0所以方程无实根.3

4、(3)方程变形为2x2-x-3=0→Δ=（-1）2-4×2×（-3）=25>0所以x1,2=即x1=,x2=-1.(4)X2-2x-t=0→Δ=(-2)2-4×1×(-t)=4(t+1)①当Δ≥0即t≥-1时，x1,2=即x1=1+,x2=1-.②当Δ<0即t<-1时，方程无解.例4用因式分解法解下列方程：(1)(2x+3)2-2x=3;(2)(y-1)2+2y(y-1)=0;(3)(2x-1)2-1=x2-2x;(4)t2-5t-6=0.解:(1)原方程可变形为(2x+3)2-(2x+3)=0(2x+3)[(2x+3)-1]=0即2(2x+3)

5、(x+1)=0故2x+3=0或x+1=0所以x1=-,x2=-1.(2)提取公因式得(y-1)[(y-1)+2y]=0即(y-1)(3y-1)=04故y-1=0或3y-1=0所以y1=1,y2=.(3)原方程移项，整理得(2x-1)2-(x2-2x+1)=0(2x-1)2-(x-1)2=0[(2x-1)+(x-1)][(2x-1)-(x-1)]=0即x(3x-2)=0所以x1=0,x2=.(4)(变形1）t2-1-5t-5=0(t+1)(t-1)-5(t+1)=0提取公因式得(t+1)[(t-1)-5]=0即(t+1)(t-6)=0所以t1=-1

6、,t2=6.(变形2）t2+t-6t-6=0t(t+1)-6(t+1)=0提取公因式得（t+1)(t-6)=0所以t1=-1,t2=65