初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法

《初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、初中数学与整数有关的含参数一元二次方程的解法　对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，基本依据是判别式，而必须具体问题具体分析。这里经常要用到一些整除性质。一元二次方程的整数解历来是数学竞赛中的热点问题之一，题型多变、难度大是这类问题的特点。但其解法仍然是有章可循的。一、巧用求根公式法例1、试确定m为何值时，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x＋72＝0有两个不相等的正整数根。解：首先，m2-1≠0，则m≠±1．又Δ=36(m-3)2＞0，所以m≠3．用求根公式可得∵x1，x2是正整数，∴m-1=1，2，3，6；且m+1=1，2，3，4，

2、6，12。　　解得m=2．这时x1=6，x2=4。评析：一般来说，利用求根公式可以先把方程的根求出来，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，这是最自然、最常规的解法。二、巧用因式分解法例2、已知方程a2x2-(3a2-8a)x+2a2-13a+15=0（其中a是非负整数）至少有一个整数根，求a的值。.分析：观察本题方程，可先用因式分解法将原方程转化为两个不定方程ax－2a+3=0和ax－a+5=0，然后利用整除的知识，求出非负整数a的值。解：原方程可化为：a2x2－(3a2－8a)x＋(2a－3)(a－5)＝0方程左边分解因式,得　(ax－2a＋3

3、)(ax－a＋5)＝0∴∵原方程至少有一个整数根，∴a的值为3，或5，或1。例3、当k为何整数时，关于x的二次方程x2－3kx+2k2－6=0两根都为整数。分析：利用因式分解法将原方程转化为多个不定方程，然后利用整除的知识，求出整数k的值.解：由x2－3kx+2k2－6=0，得(x-2k)(x-k)=6∵x、k为整数，∴原方程化为或或或5∵由于x－2k与x－k同号，故得八个不定方程组，解得k=－1，1，－5，5。评析：利用因式分解可以把原方程进行完全分解或部分分解，转化成几个不定方程，然后利用整数的性质可以来解决。三、巧用判别式来解决例4、设m是不为零的整数，关于

4、x的二次方程mx2-(m-1)x＋1＝0有有理根，试求m的值．解：一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令Δ=(m-1)2-4m＝n2，其中n是非负整数，　　于是可得m2-6m+1=n2，　　∴(m-3)2-n2=8，即(m-3＋n)(m-3-n)＝8　　由于m-3＋n≥m-3-n，并且(m-3＋n)+(m-3-n)=2(m-3)是偶数，∴m-3＋n与m-3-n同奇偶，∴或∴或（舍去）　　　所以当时，这是方程的两根为和。评析：一个整系数的一元二次方程如果有整数根或有理根，那么它的判别式一定是完全平方数，然后利用平方数的性质、解不定方程等

5、手段可以将问题解决．四、巧用求根公式与判别式的结合来解决例5、试求所有这样的正整数a，使得方程ax2-2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数解。解：首先要使△=[-2(2a-1)]2-4a[4(a-3)]=32a+4是一个完全平方数∵32a+4=22(8a+1)，∴8a+1必须是完全平方数。∵8a+1是奇数，∴设8a+1=(2k-1)2,k是整数则∵a>0，∴k>1或k<0，此时△=(4k-2)2∴方程ax2-2(2a-1)x+4(a-3)=0的根是∴，若x1是整数，则设，b是整数，则∴k只能等于±4，±2，±1但k=1与k>1或k<0不符，舍去5∴k=

6、±4，±2，-1∴对应的a=6,10,1,3,1。若X2是整数，则设，c是整数，则∴k-1=±4，±2，±1但k-1=-1与k>1或k<0不符，舍去∴k=5,3,2,-3,-1∴对应的a=10,3,1,6,1。∴当a=1,3,6,10时，方程ax2-2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数解。例6、关于x的方程ax2+2(a-3)x+(a-2)=0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值．解：当a=0时，原方程变成-6x-2=0，无整数解．当a≠0时，方程是一元二次方程，它至少有一个整数根，说明判别式Δ＝4(a-3)2-4a(a-2)＝4(9-4a)为完全平

7、方数，从而9-4a是完全平方数．令9-4a=n2，则n是正奇数，且n≠3（否则a=0）∴又由求根公式可得　∴　要使x1为整数，而n为正奇数，只能n=1，从而a=2．要使x2为整数，即n-3｜4，n可取1，5，7，从而a=2，-4，-10．　综上所述，a的值为2，-4，-10．评析：本题是前面两种方法的“综合”．既要用判别式是平方数，又要用直接求根．有时候，往往是几种方法一同使用．五、巧用韦达定理法例7、已知关于x的方程x2＋(a-6)x＋a=0的两根都是整数，求a的值．解：设两个根为x1，x2，不妨设x1≤x2，由韦达定理得　　从上面两式中消去a得：x1x2+x1

8、+x2＝6