不定方程及含参数的一元二次方程的整数根问题的解法

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1、不定方程及含参数的一元二次方程的整数根问题的解法丹阳六中王献忠一、利用“质数”及“互质”的性质1．求方程y3＝x2＋x的整数解；2．已知p、q都是自然数，关于x的方程2px2－qx＋1990＝0的两个根都是质数，求1998p1998＋q的值；3．(2002年“宇振杯”上海市初中数学竞赛试题)已知p为质数，使方程x2－2px＋p2－5p－1＝0的两个根都是整数。求出p的所有可能的值；4．(1991年“希望杯”初中数学竞赛试题)已知关于x的方程x2＋px＋q＝0有两个不相等的整数根，则这个方程的根是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；5．(1999年全国初中

2、数学竞赛试题)a是大于零的实数，已知在惟一实数k，使关于x的方程x2＋(k2＋ak)x＋1999＋k2＋ak＝0的两根均为质数，求a的值；一、因式分解法1．求方程6ab=9a－10b＋303的整数解；2．(十三届“五羊杯”初二数学竞赛试题)方程x/3＋14/y＝3有＿＿＿＿＿组正整数解；3．求2xy－5＝4y－x的整数解；1．a为何整数时，关于x的方程x2＋ax－8＝0有整数解？2．xy＋yz＝63，xz＋yz＝23的正整数解的组数是()(A)1(B)2(C)3(D)4二、判别式法(一)不等式(组)法1．求方程x2－3xy＋2y3＝0的正整数

3、解；2．解方程组x＋y＝2，xy－z2＝11．方程组x3－y3－z3＝3xyzx2＝2(y＋z)；的正整数解；(二)夹逼法(非负数)1．(2000年“弘晟杯”上海市初中数学竞赛试题)求方程1／x＋1／y－1／xy2＝3／4的正整数解；2．求方程x＋y＝x2－xy＋y2的整数解；3．(2003年全国初中数学联赛试题)试求出这样的四位数，它的前两位数字与后两位数字分别组成的二位数之和的平方恰好等于这个四位数。(三)完全平方数法方程a2x2－(3a2－8a)x＋2a2－13a＋15＝0(其中a是非负整数)至少有一个整数根，那么a＝＿＿＿＿；一、求根

4、法(用一个未知数的代数式表示另一个未知数)(一)直接求根1．(2000年全国初中数学竞赛试题)己知关于x的方程(a－1)x2＋2x－a－1＝0的根都是整数。那么符合条件的整数a有＿＿＿＿个；2．(2000年浙江绍兴初中数学竞赛试题)已知关于x的方程(4－k)(8－k)x2－(80－12k)x＋32＝0的解都是整数，求整数k的值。3．(2000年全国初中数学联赛试题)设关于x的二次方程(k2－6k＋8)x2＋(2k2－6k－4)x＋k2＝4的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。1．设关于x的方程(a2－1)x2－2(5a＋1)x＋24＝0

5、仅有整数根，则a的值为＿＿＿＿；(一)反客为主1．(1990年“祖冲之杯”初中数学竞赛试题)试求这样的正整数a，使方程ax2＋2(2a－1)x＋4(a－3)＝0至少有一个整数解；2．(1991年“祖冲之杯”初中数学竞赛试题)己知方程(a2－1)x2－2(5a＋1)x＋24＝0有两个负整数根，则a的值是＿＿＿＿＿＿；3．(1994年福州市数学联赛试题)试求这样的正整数m，使方程x2－(m－1)x＋m＋1＝0至少有一个整数解；二、整数(式)分法1．求方程6ab=9a－10b＋303的整数解；2．(十二届“五羊杯”初二数学竞赛试题)方程4x2－2x

6、y－12x＋5y＋11＝0有＿＿＿＿＿组正整数解；3．求使关于x的方程(a＋1)x2－(a2＋1)x＋2a3－6＝0的根都为整数的所有整数a。4．设k为正整数，关于x的一元二次方程(k－1)x2－px＋k＝0有两个正整数根。求kkp(pk＋kp)的值；二、根与系数关系法1．(1998年全国．香港初中数学竞赛试题)求所有正实数a，使得方程x2－ax＋4a＝0仅有整数根；2．方程yx2＋x2－y2x－x＋2y3－6＝0的整数解；3．(1998年江苏初中数学竞赛试题，2000年全国初中数学联赛一试试题)求满足如下条件的所有k值，使关于x的方程kx2

7、＋(k＋1)x＋(k－1)＝0的根都是整数；4．(1996年江苏初中数学竞赛试题)已知方程x2＋mx－m＋1＝0(m是整数)有两个不等的正整数根，求m的值。5．求使关于x的方程(a＋1)x2－(a2＋1)x＋2a3－6＝0的根都是整数的所有整数a。1．关于x的二次方程x2－(12－m)x＋m－1＝0的两根都是正整数，求m的值。一、构造一元二次方程1．解方程组x＝6－3yx＋3y－2xy＋2z2＝02．(1998年山东初中数学竞赛试题)当x为何值时，代数式9x2＋23x－2的值恰为两个连续整数的积？二、放缩法1．求方程1/x＋1/y＋1/z＝5

8、/6的正整数解；2．(十三届“五羊杯”初三数学竞赛试题)设2/x－3/y＝1/4(x、y都是正整数)，则方程有＿＿＿组正整数解；3．求方程1/x＋1/y＋1/z＝a