一元二次方程整数根问题的题与解法

一元二次方程整数根问题的题与解法

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1、一元二次方程整数根问题解题探析福建漳平市官田中学(364412)李阿明一元二次方程整数根问题是初中数学竞赛常见的题型。它的解答方法在一些杂志上有了介绍,但大部分没有总结出规律性解法。学生在解答这类问题时,仍然要走很多的弯路,甚至茫然不知所措,无从思考。本文将常见的一元二次方程整数根问题的解法进行归类,并做具体的解题指导,供同学们参考。一、观察已知的方程的两根能否先求出。若能先求出根(当然这里能求出的是含有字母系数的根),再根据整数的特点,确定字母系数的取值。例1已知方程(a2–1)x2–2(5a+1)x+24=0有两个不相等的负整数根根,则整数a=解析:在

2、a2–1≠0条件下,可求得方程的两个根x1=,x2=;由x1是负整数可得a的可能值为:-2,-3,-5;由x2是负整数可得a的可能值为:-1,-2,-5;取相同的a值-2、-5,即为所求。评注:原方程的两根可以先求出(用a表示),利用整除的性质,确定出所有的a的可能值。4二、利用一元二次方程有整数根的必要条件是根的判别式为完全平方数,确定字母系数的取值(范围)。例2已知方程x2+kx–k+1=0(k为整数)有两个不相等的整数根,刚k=解析:依题意可知∆=k2+4k-4是完全平方数,不妨设该平方数为t2,则k2+4k–4=t2,(k+t+2)(k+2-t)=

3、8(k+t+2)与(k+2-t)同奇偶且8是偶数,所以有:解得k=1或–5经检验:k=1或–5满足题目的要求。评注:此题的关键在于设根的判别式为t2(t为整数),然后利用整数整数=整数,列举出所有的可能的因数积,从而巧妙求出k的值。三、利用根与系数的关系,转化为整数积的形式,讨论字母系数的可能取值。例3求所有有理数r,使得方程rx2+(r+1)x+r–1=0的所有根为整数。解析:当r=0时,方程有一个整数根1;当r≠0时,设方程的两根为x1、x2(x1≥x24)。由根与系数关系可得x1+x2==–1–┄┄①x1x2==1-┄┄②由①②消去得(x1−1)(x

4、2−1)=3。由于x1、x2是整数及x1≥x2可得:或解得或把上述两组解代入①中,可求得r=–或1。经检验:r=–或1满足题意。所求的r=–、1、0。评注:本题中的r是有理数,其取值不好确定,所以通过转化为讨论整数积的问题。当然要注意分r=0和r≠0两种情况讨论。四、变换主元,把原方程看成是要求值(或范围)的字母的方程,利用已知方程根的情况,求值(或范围)。例4求使关于x的方程a2x2+ax+1–7a2=0的两根都是整数的所有正数a的和。解析:把方程化为(x2–7)a2+ax+1=0(关于a的方程)因x是整数,所以x2–7≠0,关于a的方程有解,于是∆=x

5、2–4(x2–7)≥0;解得–≤x≤。由于x是整数,所以x的可能取值为–2、–1、0、1、2。把x的可能值代入转化后的方程中,求出a的一切值:、、、1,其和为。4评注:题中给出的条件:根是整数、a是正数。不容易直接求出a的值。注意到字母a的次数是二次,所以采取反客为主,转化为关于a的二次方程,再利用方程有根这一条件求出正数a的值。一元二次方程整数根的问题解答有助于培养学生思维的灵活性、广阔性、敏捷性。在解答时,要仔细观察所给方程的特征,综合运用所学知识,选择简便做法,就能运筹帷幄,决胜千里。4

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