经济预测与决策8_马尔柯夫预测法.ppt

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1、经济预测与决策——第8讲马尔柯夫预测法主讲：本讲内容马尔柯夫预测的基本概念与原理市场占有率的马尔柯夫预测期望利润的马尔柯夫预测马尔柯夫预测的基本概念与原理状态和状态转移状态是指客观事物可能出现或存在的状况。如企业的产品在市场上可能畅销，也可能滞销。状态转移是指客观事物由一种状态到另一种状态的变化。客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化。如某种产品在市场上本来是滞销的，但是由于销售渠道变化了，或者消费心理发生了变化等，它便可能变为畅销产品。马尔

2、柯夫过程设预测对象为一系统，若该系统在某一时刻可能出现的状态为Ei，而该系统从状态Ei变化到另一状态Ej的状态转移过程称为马尔柯夫过程。它具有如下的两个特征：无后效性。即系统的第n次试验结果出现的状态，只于第n-1次时所处的状态有关，与它以前所处的状态无关；稳定性。即在较长时间下，该过程逐渐趋于稳定状态，而与初始状态无关。概率向量和概率矩阵在一行向量中，如果每一元素都为非负，且其和等于1，则称该向量为概率向量。如：A=(0.30.50.2)由概率向量构成的矩阵称为概率矩阵。概率矩阵有下列性质：若A、B都是

3、概率矩阵，则AB也是概率矩阵；若A是概率矩阵，则An也是概率矩阵。正规概率矩阵若P为概率矩阵，且存在m>0,使Pm的所有元素均为正(非零非负)，则P为正规概率矩阵。正规概率矩阵(m=1)正规概率矩阵(m=2)不是正规概率矩阵对于正规概率矩阵P和概率向量U，如果UP=U成立，则称U为P的固定概率向量。并且P只有一个固定概率向量。正规概率矩阵的固定概率向量设P的固定概率向量为U=(x,1-x)，则由UP=U，得U=(1/3,2/3)，为P的唯一的固定概率向量。一步转移概率与转移矩阵系统由状态Ei经过一步转移到

4、状态Ej的概率为pij，则下述N阶矩阵称为一步转移矩阵：例1k步转移概率与矩阵S1S1S2S10.70.70.30.4由此，两步转移概率矩阵为：可以证明：状态转移概率的估算一步转移概率是马尔柯夫方法应用的关键。一般地，转移概率的理论分布是未知的，但当我们具有足够样本资料时，可利用状态之间转移的频率来作为概率的估计值。即：出现的次数为状态其中是样本资料中状态转移到的次数。例2已知某一产品在过去21个月销量如下表所示。其中每月销量在150千件以上为畅销，在100千件与150千件之间为正常，低于100千件为滞销

5、。记三种销售状态分别为：—滞销—正常—畅销由表可知，滞销状态总数为:正常状态总数为:畅销状态总数为:并且所以同样得(注意计算转移概率时最后一期不参加计算)写成一步转移矩阵为：系统的稳定状态处于状态i的概率如用Si表示，则系统的状态可用下面的概率向量来表示：S=(S1，S2，……，Sn)系统的稳定状态是指系统即使再经过一步状态转移，其状态概率仍保持不变的状态。即：SP=S则称S为P的稳定状态概率向量。稳定状态概率向量求法且S1+S2+……+Sn=1由从而有P11S1+P21S2+……+Pn1Sn=S1P12

6、S1+P22S2+……+Pn2Sn=S2………………P1nS1+P2nS2+……+PnnSn=SnS1+S2+……+Sn=1由前n个方程中去掉一个不独立的方程，整理得即有矩阵形式设系统在k=0时所处的初始状态为已知，记作马尔柯夫预测模型经过k次转移后所处的状态向量记为：则马尔柯夫预测模型写成矩阵形式为：马尔柯夫预测法的应用条件必须将研究的问题归纳成独立的状态；要确定经过一个时期后，系统由一种状态转变为另一种状态的概率，并且这种概率必须满足下列条件：只与目前状态有关；与具体的时间周期无关；预测期间，状态的个

7、数必须保持不变。预测步骤如果研究的问题符合上述条件，则构成一阶马尔柯夫链，并可以据此建立预测模型，进行预测。具体步骤如下：确定系统的状态；确定转移概率矩阵；进行预测。例3某公司将最近20个月的商品销售额统计如下，试预测第21个月的商品销售额。各月商品销售额单位：万元1.划分状态按销售额多少作为划分状态的标准。状态1——滞销：销售额60万元；状态2——平销：60万元销售额100万元；状态3——畅销：销售额100万元。解：2.计算转移概率矩阵各状态出现的次数为：M1=7；M2=5；M3=8由状态i转移

8、为状态j的次数为：M11=3；M12=4；M13=0；M21=1；M22=1；M23=3；M31=2；M32=0；M33=5。3.预测因为第20月的销售属状态3，而状态3经过一步转移达到状态1、2、3的概率分别为2/7、0、5/7，P33≥P31≥P32，所以第21月仍处于状态3的概率最大，即销售额超过100万元的可能性最大。某半导体收音机厂晶体管袖珍收音机销售情况如下表，分析预测下月可能的销售量。练习106318530201