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时间：2020-03-16
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1、矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件与一个充分条件主讲：刘媛媛我们知道，矩阵的乘法不满足交换律，即在一般的情况下，AB≠BA,这就是说矩阵乘法AB=BA成立是有条件的。比如，对于n阶矩阵A,B中任意一个为n阶单位矩E时，矩阵乘法AＩ=ＩA总是成立的。当A,B为一般的n阶矩阵时，矩阵乘法AB=BA成立的条件时什么呢？为此，我做了一些探讨，得到矩阵乘法AB=BA成立的两个充要条件和一个充分条件。一两个充要条件定理1若A,B都是n阶可逆矩阵，则矩阵乘法AB=BA成立的充要条件是证必要性由已知条件AB=BA，两端分别取逆矩阵，得充分性由已知条件，得存
2、在且唯一。由矩阵运算性质，有于是又两端取逆矩阵，即得AB=BA.定理2设A,B都是n阶矩阵，则矩阵乘法AB=BA成立的充要条件是证必要性由已知条件AB=BA，两端分别取它们的转置，得(2)又故充分性又矩阵运算性质及已知条件即得两端分别取它们的转置，得AB=BA二一个充分条件定理3若A,B都是n阶可逆矩阵，并且满足关系式（3）其中I为n阶单位矩阵，为任意实数，则AB=BA.证当=0时，（3）式变为A=AB，从而有结论显然成立。当为任意非零实数时，因为已知A,B可逆，所以A-I也是可逆的，由（3）式，得.(4)根据矩阵运算性质,由（3),（4）两
3、式.可得又故根据上述定理2，知AB=BA.综上所述，对于任意的实数,定理3的结论总是成立的。
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