AB与BA相似秩条件与其应用

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1、AbstracttheexistingofgroupinversesofABandBA；morcover，itfurtherde、relopsCao’sconclusionof”reverseorderlawofgroupinversesofproductsoftwomatrices’’．Keywords：Di、，isionrings；Matri)(：Rank．Simihr；Generalizedinverse一些符号和术语本文中，令K是除环．^厶(K)表示K上所有n×n矩阵集合，Ⅳ⋯”表示K上所有m×n阵集合．GL。(K)表示K上n阶可逆阵构成的一般线性群．

2、我们用厶表示七×≈单位阵．若A为除环上的阵，则A(”，^(1-”，A#，A。和^+分别记为4的(1)逆，(1，2)逆，群逆，D．逆及M—P逆．关于广义逆的相关理论参看文献【l—16】．又rankA，A’，ind^和R(A)．分别记^的秩，转置，指标及值域．令A{l，2}记4的所有{1，2}_逆的集合．^≥o记^为K上自共轭半正定阵．对复矩阵来说，A≥O记为Her瓜te半正定阵．设A，B∈^h(K)，如果存在P∈Gf。(Ⅳ)，使B=PAP～，则称A与口相似，记做A—B．有关矩阵相似的理论参看文献【17-27】．若a是一个对合反自同构．任意o∈K，记口(n)=a；

3、对任意A=(o巧)～，记∥=(n，{)一．对于复矩阵A来说，小就是A的转置共轭阵．设A∈^靠(K)，如果岔=A，则称^是Ⅳ上的一个n阶自共轭矩阵；如果A’=^，则称A是K上的一个n阶对称矩阵；设A∈^k(K)，则存在一个最小的自然数七，使得对于任意的自然数f，都有r口n女月^=r∞七小“．其中％叫做A的指标，记做indA．设^∈^厶(K)，如果存在x∈^厶(K)，满足以下矩阵方程∥=A¨1X，七是某个自然数；X=xAX，Ax=xA，则称X为A的一个Drnz轨逆，记做AD．若上述七=l，则称为A的一个群逆，记做A襻．A∈K““如果存在x∈K“”，使得Ax^=J4

4、则x为月的(1)一逆；x满足XAX=X则x为A的(2)一逆；X满足AxA=^，x^x=X则X为A的(1，2)一逆；x满足AxA=A，xAX=x，(Ax)‘=以x，(xA)+=xA则x为月的MDDre—Pe"ose逆．V黑龙江大学硕士学位论文独创性声明零天声骥囊至交戆学僚潦交楚搴天在导帮藩露下邃嚣戆臻囊羔露及致褥辩舞宠艘槊。据我所知，狳了交审特髑加以标注释致瀣的地方外，论文中不缎禽其他人已经发寝或撰写过的研究成聚，也不包含为获得熙龙江大学或其他教育机构的学位或诫书而使用过的材料．擎经擞黻签名；如翔签字嚣麓岬督蠢妒学位论文版权使用授权书零入完垒了薅爨戈强穴学骞关镲

5、蟹，熊溪学往逾文鳃鬟定，嚣豢学获曝整劳懿潮容有关部门或枫梅遴突论文的复窜俸秘电予舨，龛许论文凌轰游和畿阕。本人授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据麾谶行检索，可以来甩影印、缩印或其他复铡手段保存、汇编水学位论文．鼯耨签名；歹≥{乡致签字日期；御年，月"钿通讯地址t邮编；^g躲崩，枯肌名．斗j躲％者1露鲰一H沦日俊字3ll}'整第l章绪论1．1相关定义第1章绪论(1)设e是—个复数域，A是—个文字，做多项式环c㈧．一个矩阵A(A)，如果它的元素是A的多项式，即e㈨的元素，就称为一个入一矩阵．(2)设k矩阵A(A)的秩为r，对于正整数％，l≤七

6、≤r，A(A)中必有非零的％级子式．A(A)中全部后级子式的首项系效为1的最大公因式D女(A)称为A(^)的．j}级行列式因子．(3)设A(A)为mxn的k矩阵，则有A(A)的等价标准形：A(A)=P(A)d1("0dr(A)O0Q(A)其中P(A)，Q(A)为m阶，礼阶可逆的k矩阵．其中也(划也+，(A)，i=1，⋯，r一1-标准形的非零元素d1(A)，d2(A)，⋯，西(A)称为A一矩阵的不变因子．(4)对于一个n阶方阵A，则A，一^的行列式因子，不变因子称为A的行列式因子和不变因子．把矩阵A的每个次数大于零的不变因子分解成互不相同的一次因式方幂的乘积，所

7、有这些一次因式方幂(相同的必须按出现的次数计算)称为矩阵■的初等因子组．1．2复矩阵相似的充要条件复数域e上佗×n矩阵一与B相似的充要条件是下列之一成立．(见[281)(1)月，口的特征矩阵AE—A和AE—B等价．(2)』4，B有相同的不变因子组．(3)肖，B有相同的初等因子组．(4)月，B有相同的行列式因子组．(5)一，B有相同的若当标准形．燕蹙汪大学磺士学控论文1．3除环上的矩际(1)等价标准形(觅【l】{2瑚}3硼)设囊∈静”“，捌存在p∈G五m(K)，Q∈(2)核心幂零分辨(6tting分解，见[11)设J4∈^靠(Ⅳ)t则存穰P∈G如∽)，使A=P[

8、言品]P一，其中。∈GLcK，，Ⅳ为K