概率论课后答案chap.doc

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1、第三章连续型随机变量3.1设随机变数的分布函数为，试以表示下列概率：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）；（2）；（3）=1-；（4）。3.2函数是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果（1）（2）0，在其它场合适当定义；（3）-，在其它场合适当定义。解：（1）在（-）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数；（2）在（0，）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数；（3）在（-内单调上升、连续且，若定义则可以是某一随机变量的分布函数。3.3函数是不是某个随机变数的分布密度？如果的取值范围为（1）；（2）；（3）。解：（1）当时，且=1

2、，所以可以是某个随机变量的分布密度；（2）因为=2，所以不是随机变量的分布密度；（3）当时，，所以不是随机变量的分布密度。3.4设随机变数具有对称的分布密度函数，即证明：对任意的有（1）；（2）P（；（3）。证：（1）==；（2），由（1）知1-故上式右端=2；（3）。3.5设与都是分布函数，又是两个常数，且。证明也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？证：因为与都是分布函数，当时，，，于是又所以，也是分布函数。取，又令这时显然，与对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故不是离散型的，而不是连续函数，所以它也不是

3、连续型的。3.6设随机变数的分布函数为求相应的密度函数，并求。解：，所以相应的密度函数为。3.7设随机变数的分布函数为求常数及密度函数。解：因为，所以，密度函数为3.8随机变数的分布函数为，求常数与及相应的密度函数。解：因为所以因而。3.9已知随机变数的分布函数为（1）求相应的分布函数；（2）求。解：3.10确定下列函数中的常数，使该函数成为一元分布的密度函数。（1）；（2）（3）解：（1）；（2），所以A=;(3),所以。3.12在半径为R,球心为O的球内任取一点P,求的分布函数。解：当0时所以3.13某城市每天用电量不超过一百万度，以表示每

4、天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90万度又是怎样呢？解：因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则供电量不够需要的概率为0.0037。3.14设随机变数服从（0，5）上的均匀分布，求方程有实根的概率。解：当且仅当（1）成立时，方程有实根。不等式（1）的解为：或。因此，该方程有实根的概率。3.17某种电池的寿命服从正态分布，其中（小时），（小时）(1)求电池寿命在250小时以上的概率；（2）求，

5、使寿命在与之间的概率不小于0.9。解：（1）=；（2）=即所以即3.18设为分布的分布函数，证明当时，有证：==所以。3.21证明：二元函数对每个变元单调非降，左连续，且，，但是并不是一个分布函数。证：（1）设，若，由于，所以，若，则。当时，；当时，。所以。可见，对非降。同理，对非降。（2）时=，时，=，所以对、左连续。（3），。（4），所以不是一个分布函数。3.23设二维随机变数的密度求的分布函数。解：当，时，===所以3.24设二维随机变数的联合密度为（1）求常数；（2）求相应的分布函数；（3）求。解：（1），所以；（2）时，=，所以（3）

6、==。3．25设二维随机变数有密度函数求常数及的密度函数。解：所以，；3.26设二维随机变数的密度函数为求（1）。解：3.28设的密度函数为求与中至少有一个小于的概率。解：3.30一个电子器件包含两个主要组件，分别以和表示这两个组件的寿命（以小时计），设的分布函数为求两个组件的寿命都超过120的概率。解：3.31设都是一维分布的密度函数，为使成为一个二维分布的密度函数，问其中的必需且只需满足什么条件？解：若为二维分布的密度函数，则所以条件得到满足。反之，若条件（1），（2）满足，则为二维分布的密度函数。因此，为使成为二维分布的密度函数，必需且只

7、需满足条件（1）和（2）。3.32设二维随机变数具有下列密度函数，求边际分布。（1）（2）（3）解：（1）（2）时，时，所以，。同理，。（3）3.34证明：若随机变数只取一个值，则与任意的随机变数独立。证：的分布函数为设的分布函数、的联合分布函数分别为。当时，。当时，。所以，对任意实数，都有，故与相互独立。3.35证明：若随机变数与自己独立，则必有常数，使。证：由于，所以，。由于，非降、左连续，所以必有常数，使得故。3.36设二维随机变量的密度函数为问与是否独立？是否不相关？解：。同理，。由于，所以与不相互独立。又因关于或关于都是偶函数，因而，

8、故，与不相关。3.41设某类电子管的寿命（以小时计）具有如下分布密度：一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少