概率论课后问题答案

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1、11．从（0，1）中随机取两个数，求下列事件的概率；（1）两数之和小于；（2）两数之积小于。解（此系几何概型问题）设两数之和小于的事件为，两数之积小于的事件为。如下图，样本空间为单位正方形区域，事件为区域C，事件为区域D，于是的面积/的面积/=的面积/的面积1D11D1CDO1O114．设有来自三个地区的各10名，15名和25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份，7份和5份，随机地取一个地区，从该地区报名表中抽取1份，求抽到的1份是女生报名表的概率。解此系条件概率问题。设表示“抽到第个地区”，B表示“抽到的是女生报名表”。则据全概率公式，

2、所求概率为15．三个箱子，第一个箱中有4个黑球，1个白球，第二个箱中有3个黑球，3个白球，第三个箱中有3个黑球，5个白球，现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出一个球。（1）求这个球为白球的概率；（2）已知取出的球是白球，求此球属于第二个箱子的概率。解此系条件概率问题。设表示“抽到第个箱子”，B表示“取出的是白球”。则所求概率分别为和。据全概率公式，有而由贝叶斯公式可得17．设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车，轮船，汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别为

3、1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大。解此系条件概率问题。设分别表示此人乘火车，轮船，汽车或飞机来的事件，表示此人迟到的事件，则依题意要计算、和，并进行比较。据已知有，，，，，，据全概率公式，有而据贝叶斯公式，有上述三个条件概率分别为此人在迟到的条件下乘火车，轮船，汽车的概率，不难看出这时他乘火车的可能性最大。19．有甲乙两批种子，发芽率分别是0.8和0.7，在这两批种子中各随机抽取一粒，求：（1）两粒都发芽的概率；（2）至少有一粒发芽的概率；（3）恰好有一粒发芽的概率。解此系事件的独立性问题。设表示“从甲（

4、乙）批抽取的种子发芽”，据已知：，。则依事件的独立性，有（1）两粒都发芽的概率为：（2）至少有一粒发芽的概率为：（3）恰好有一粒发芽的概率为：21．一实习生用同一机器接连独立制造3个同种零件，第个零件是不合格品的概率，求他制造的3个零件中恰好有2个合格的概率。解此系事件的独立性问题。设表示“第个零件是合格品”，表示所求概率的事件。则已知，于是所求概率为22．设甲乙两篮球运动员投篮命中率分别为0.7和0.6，若每人投篮3次，求两人进球数相等的概率。解此系重贝努里试验概型问题。设表示“甲篮球运动员投进个球”，表示“乙篮球运动员投进个球”，则所求概率

5、为。因为两两互不相容，且与相互独立，所以有应用二项概率公式有分别计算，得于是所求概率为26．袋中有只正品硬币，只次品硬币（次品硬币的两面均印有国徽），在袋中任取一只，将它投次，已知每次均得到国徽，问这只硬币是正品的概率是多少？解此系重贝努里试验概型和条件概率问题。设表示“在袋中取出的硬币是正品”，表示“取出的硬币投次，每次均得到国徽”，则所求概率为。据全概率公式，有于是27．证明题：（1）如果，求证事件与互相独立；（2）设事件发生则事件一定发生，求证。证（1）由，可得或即化简，即得所以事件与互相独立。（2）已知事件发生则事件一定发生，即，于是，

6、从而因为，故有证毕。第二章5．某射手有5发子弹，射一次，命中率为0.9，若命中就停止射击，若未命中就一直射到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列。解由题设的所有可能取值为1，2，3，4，5，而由条件概率可得即，，，而由全概率公式得所以的分布列为1234510．设随机变量的概率密度为（1）求系数；（2）求分布函数；（3）画出与的图形进行比较。解由概率密度的性质，有得，于是当时，当时，当时，即14．工厂生产某高级电子元件，其寿命（以年计）服从指数分布，的概率密度为，工厂规定出售的电子元件在一年内损坏可调换。若工厂出售一个电子元件盈利100元，调换一个需花

7、费300元，试解答以下各题。（1）求一个电子元件在一年内损坏的概率；（2）若某仪器装有5个这种电子元件，且它们独立工作，求在使用一年内恰有3个元件损坏的概率；（3）求出售一个电子元件盈利元的分布列。解（1）所求概率为（2）此系重贝努里试验概型，由（1）知参数，按二项概率公式，所求概率为（3）由已知出售一个电子元件盈利元，而出售的电子元件在一年内如损坏，扣除调换花费300元，则盈利元，即的取值为，并且有所以的分布列为17．设电源电压服从正态分布，又设在下列三种情况下某种电子元件损坏的概率分别是0.1，0.001和0.2：（1）不超过200伏；（2

8、）在200~240伏之间；（3）超过240伏。求：（1）电子元件损坏的概率；（2）若已知电子元件损坏，问该电子元件处于何种情况下损坏的可能性最大，为什