学校导数零点问题总结.doc

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1、北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育导数零点问题导数是研究函数的有力工具，其核心又是由导数值的正、负确定函数的单调性．用导数研究函数f(x)的单调性，往往需要解方程f′(x)＝0.若该方程不易求解时，如何继续解题呢？猜——猜出方程f′(x)＝0的根[典例]　设f(x)＝.(1)若函数f(x)在(a，a＋1)上有极值，求实数a的取值范围；(2)若关于x的方程f(x)＝x2－2x＋k有实数解，求实数k的取值范围．[方法演示]解：(1)因为f′(x)＝－，当00；当x>1时，f

2、′(x)<0，所以函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，故函数f(x)的极大值点为x＝1，所以a<1

3、当00，当x>1时，g′(x)<0，所以函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．所以g(x)max＝g(1)＝2.当x→0时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)→－∞，所以函数g(x)的值域是(－∞，2]，所以所求实数k的取值范围是(－∞，2]．[解题师说]当所求的导函数解析式中出现lnx时，常猜x＝1；当函数解析式中出现ex时，常猜x＝0或x＝lnx.[应用体验]1．函数f(x)＝ex＋x2－(2＋ln2)x的最小值为________．答案：2

4、－2ln2－ln22解析：f′(x)＝ex＋x－(2＋ln2)．接下来，需求函数f(x)的单调区间，所以需解不等式f′(x)≥0及f′(x)≤0，因而需解方程f′(x)＝0.但此方程不易求解，所以我们可以先猜后解．聪明在于勤奋，天才在于积累8北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育易知f′(x)是增函数，所以方程f′(x)＝0至多有一个实数根，且可观察出此实数根就是ln2，所以函数f(x)在(－∞，ln2)上是减函数，在(ln2，＋∞)上是增函数，所以f(x)min＝f(ln2)＝2－2ln2－ln

5、22.设——设出f′(x)＝0的根[典例]　(2015·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝e2x－alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln.[方法演示]解：(1)法一：f′(x)＝2e2x－(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点．当a>0时，设u(x)＝e2x，v(x)＝－，因为u(x)＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，v(x)＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)>0，当b满

6、足00时，f′(x)存在唯一零点．法二：f′(x)＝2e2x－(x>0)．令方程f′(x)＝0，得a＝2xe2x(x>0)．因为函数g(x)＝2x(x>0)，h(x)＝e2x(x>0)均是函数值为正值的增函数，所以由增函数的定义可证得函数u(x)＝2xe2x(x>0)也是增函数，其值域是(0，＋∞)．由此可得，当a≤0时，f′(x)无零点；当a>0时，f′(x)有唯一零点．(2)证明：由(1)可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0.当x∈(0，x

7、0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，当且仅当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．由于2e2x0－＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln(基本不等式)．所以当a>0时，f(x)≥2a＋aln.[解题师说]本题第(2)问的解题思路是求函数f(x)的最小值．因此需要求f′(x)＝0的根．但是f′(x)＝2e2x－聪明在于勤奋，天才在于积累8北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育＝

8、0的根无法求解．故设出f′(x)＝0的根为x0，通过证明f(x)在(0，x0)和(x0，＋∞)上的单调性知f(x)min＝f(x0)＝＋2ax0＋aln，进而利用基本不等式证得结论，其解法类似解析几何中的设而不求．[应用体验]2．设函数f(x)＝ex－ax－2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a＝1，k为整数，且当x>0时，(x－k)f′(x)＋x＋1>0，求k的最大值．解：(1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)