导数研究函数零点问题

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时间:2018-10-21

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1、利用导数研究方程的根函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤第一步:画出两个图像即“穿线图”(即解导数不等式)和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”;第二步:由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式(组);主要看极大值和极小值与0的关系;第三步:解不等式(组)即可;1、已知函数.(Ⅰ)求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ)证明:曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点.【答案】解:(Ⅰ)f(x)的反函数,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=..过点(1,0)的切线方程为:y=x+1(Ⅱ)证明曲线y=f

2、(x)与曲线有唯一公共点,过程如下.因此,所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕)2、已知函数(,为自然对数的底数).(1)求函数的极值;(2)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.(1),①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.②当时,令,得,.,;,.所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.6综上,当时,函数无极小值;当,在处取得极小值,无极大值.(2)当时,.直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:(*)在上没有实数解.①当时,方程(*)可化为,在上没有实

3、数解.②当时,方程(*)化为.令,则有.令,得,当变化时,的变化情况如下表:当时,,同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为.所以当时,方程(*)无实数解,解得的取值范围是.综上,得的最大值为.3、已知函数,,且在区间上为增函数.(1)求实数的取值范围;(2)若函数与的图象有三个不同的交点,求实数的取值范围.解:(1)由题意∵在区间上为增函数,6∴在区间上恒成立即恒成立,又,∴,故∴的取值范围为(2)设,令得或由(1)知,①当时,,在R上递增,显然不合题意…②当时,,随的变化情况如下表:—↗极大值↘极小值↗由于,欲使与的图象有三个不同的交点,即方程有三个不

4、同的实根,故需,即∴,解得综上,所求的取值范围为4、已知函数是实数集R上的奇函数,函数是区间[一1,1]上的减函数.(I)求a的值;(II)若在x∈[一1,1]上恒成立,求t的取值范围.(Ⅲ)讨论关于x的方程的根的个数。解:(I)是奇函数,则恒成立.(II)又在[-1,1]上单调递减,令则.(III)由(I)知令,,当上为增函数;6上为减函数,当时,而,、在同一坐标系的大致图象如图所示,∴①当时,方程无解.②当时,方程有一个根.③当时,方程有两个根.5、.已知函数且在上的最大值为,(1)求函数f(x)的解析式;(2)判断函数f(x)在(0,π)内的零点

5、个数,并加以证明。(I)在上恒成立,且能取到等号在上恒成立,且能取到等号在上单调递增(II)①当时,在上单调递增在上有唯一零点②当时,当上单调递减存在唯一使得:在上单调递增,上单调递减6得:时,,时,,在上有唯一零点由①②得:函数在内有两个零点。6、已知函数在点处取得极小值-4,使其导数的的取值范围为,求:(1)的解析式;(2)若过点可作曲线的三条切线,求实数的取值范围.解:(1)由题意得:∴在上;在上;在上因此在处取得极小值∴①,②,③由①②③联立得:,∴(2)设切点Q,过令,求得:,方程有三个根。需:故:;因此所求实数的范围为:7、已知(为常数)在

6、时取得一个极值,(1)确定实数的取值范围,使函数在区间上是单调函数;(2)若经过点A(2,c)()可作曲线的三条切线,求的取值范围.解:(1)∵函数在时取得一个极值,且,,.或时,或时,时,,在上都是增函数,在上是减函数.∴使在区间上是单调函数的的取值范围是(2)由(1)知.设切点为,则切线的斜率,所以切线方程为:.将点代人上述方程,整理得:.6∵经过点可作曲线的三条切线,∴方程有三个不同的实根.设,则,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,故得:.6

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