资源描述：
《导数研究函数零点问题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、利用导数研究方程的根函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；1、已知函数.(Ⅰ)求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;(Ⅱ)证明:曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点.【答案】解:(Ⅰ)f(x)的反函数,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=..过点(1,0)的切线方程为:y=x+1(Ⅱ)证明曲线y=f
2、(x)与曲线有唯一公共点,过程如下.因此,所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕)2、已知函数(,为自然对数的底数).(1)求函数的极值;(2)当的值时,若直线与曲线没有公共点,求的最大值.(1),①当时,,为上的增函数,所以函数无极值.②当时,令,得,.,;,.所以在上单调递减,在上单调递增,故在处取得极小值,且极小值为,无极大值.6综上,当时,函数无极小值;当,在处取得极小值,无极大值.(2)当时,.直线:与曲线没有公共点,等价于关于的方程在上没有实数解,即关于的方程:(*)在上没有实数解.①当时,方程(*)可化为,在上没有实
3、数解.②当时,方程(*)化为.令,则有.令,得,当变化时,的变化情况如下表:当时,,同时当趋于时,趋于,从而的取值范围为.所以当时,方程(*)无实数解,解得的取值范围是.综上,得的最大值为.3、已知函数，，且在区间上为增函数．（1）求实数的取值范围；（2）若函数与的图象有三个不同的交点，求实数的取值范围．解：（1）由题意∵在区间上为增函数，6∴在区间上恒成立即恒成立，又，∴，故∴的取值范围为（2）设，令得或由（1）知，①当时，，在R上递增，显然不合题意…②当时，，随的变化情况如下表：—↗极大值↘极小值↗由于，欲使与的图象有三个不同的交点，即方程有三个不
4、同的实根，故需，即∴，解得综上，所求的取值范围为4、已知函数是实数集R上的奇函数，函数是区间[一1，1]上的减函数．(I)求a的值；(II)若在x∈[一1，1]上恒成立，求t的取值范围．(Ⅲ)讨论关于x的方程的根的个数。解：（I）是奇函数，则恒成立.（II）又在[－1，1]上单调递减，令则.（III）由（I）知令，，当上为增函数；6上为减函数，当时，而，、在同一坐标系的大致图象如图所示，∴①当时，方程无解.②当时，方程有一个根.③当时，方程有两个根.5、.已知函数且在上的最大值为，（1）求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在（0，π）内的零点
5、个数，并加以证明。（I）在上恒成立，且能取到等号在上恒成立，且能取到等号在上单调递增（II）①当时，在上单调递增在上有唯一零点②当时，当上单调递减存在唯一使得：在上单调递增，上单调递减6得：时，，时，，在上有唯一零点由①②得：函数在内有两个零点。6、已知函数在点处取得极小值－4，使其导数的的取值范围为，求：（1）的解析式；（2）若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．解：（1）由题意得：∴在上；在上；在上因此在处取得极小值∴①，②，③由①②③联立得：，∴（2）设切点Q，过令，求得：，方程有三个根。需：故：；因此所求实数的范围为：7、已知（为常数）在
6、时取得一个极值，（1）确定实数的取值范围，使函数在区间上是单调函数；（2）若经过点A（2，c）（）可作曲线的三条切线，求的取值范围．解：（1）∵函数在时取得一个极值，且，，．或时，或时，时，，在上都是增函数，在上是减函数．∴使在区间上是单调函数的的取值范围是（2）由（1）知．设切点为，则切线的斜率，所以切线方程为：．将点代人上述方程，整理得：．6∵经过点可作曲线的三条切线，∴方程有三个不同的实根．设，则，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故得：．6
