圆锥体积公式的推导ppt课件 (2).ppt

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1、圆锥体积公式的推导1第一种证明方法：倒水实验2345678910111213141516171819202122232425262728293031圆柱体积＝底面积高圆锥体积＝底面积高32圆柱体积＝底面积高13圆锥体积＝底面积高33第二种证明方法：模拟想象34假设左图为一个长方体。35假设左图为一个长方体。底面是一个正方形。36假设左图为一个长方体。底面是一个正方形。取它的中心。高的长度是底边的2倍做一个四棱锥以此类推，共能做出六个37假设左图为一个长方体。底面是一个正方形。取它的中心。高的长度是底边的2倍做一个四棱锥以此类推，共能做出六个共能做

2、出6个四棱锥，则说明左图中的长方体是四棱锥的6倍。左图中的长方体的高是四棱锥的2倍，则说明等底等高的长方体是四棱锥体积的6÷2=3倍38共能做出6个四棱锥，则说明左图中的长方体是四棱锥的6倍。左图中的长方体的高是四棱锥的2倍，则说明等底等高的长方体是四棱锥体积的6÷2=3倍试想：四棱锥和圆锥有没有关系呢？当然有。把四棱锥水平旋转，得出一个圆锥。同理，把长方体旋转，得出一个圆柱。就是说：圆柱的体积也是圆锥的3倍39第三种方法：极限思维40右图为一个倒圆锥的横截面。想一想：把右图三角形无限平均细分会出现什么？示意图41无限平均细分后，每一个部分就会是

3、一个圆柱体。横截面如左图一样，是一个长方体。42设圆锥高为h，底面圆的半径是r，共平均分成n份。每份高：h÷n=h/n第1份半径：r第1份底面积：S=兀r²第一份体积：兀r²h/n也就是兀r²×h×1/n第二份体积：兀×h/n×(n-1/n×r)²也就是兀r²×h/n×(n-1/n)²等同于兀r²×h×1/n×(n-1/n)²43参考刚才我们算出的结果，我们得出：圆锥体积=兀r²×h×1/n×[(n/n)²+(n-1/n)²+(n-2/n)²+……+(1/n)²]=兀r²×h×1/n³×[1²+2²+……(n-2)²+(n-1)²+n²]圆柱体积

4、=兀r²×h因为兀r²×h=兀r²×h所以只要证明1/n³×[1²+2²+……(n-2)²+(n-1)²+n²]=1/3即可。44根据公式[1²+2²+……(n-2)²+(n-1)²+n²]=1/6×n×(n+1)×(2n+1)所以1/n³×[1²+2²+……(n-2)²+(n-1)²+n²]=1/3=1/n³×1/6×n×(n+1)×(2n+1)=1/345大家想想：n是无限大的，那么n和（n＋1）有什么区别吗？答案是没有。n是无穷大的，n+1也就=n。1/n³×1/6×n×(n+1)×(2n+1)nn2n1/n³×1/6×n×n×2n=1/6

5、×2=1/3所以，圆锥的体积是圆柱的1/346再见47