排列组合与二项式定理精华总结可用.docx

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1、排列组合知识点一、两个原理.1.乘法原理、加法原理：分类相加，分步相乘。二、排列：元素是有顺序的（1）：对排列定义.：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.（2）：排列数公式：注意：规定0!=1规定（3）：含有可重元素的排列问题.对含有相同元素求排列个数的方法是：设重集S有k个不同元素a1，a2,…...an其中有限重复数为n1、n2……nk，且n=n1+n2+……nk,则S的排列个数等于.三、组合：元素没有顺序之分（1）：组合：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合

2、.（2）：组合数公式：（3）：两个性质：①②（4）：常用的证明组合等式方法例.i.裂项求和法.如：（利用）ii.导数法.iii.数学归纳法.iv.倒序求和法.v.递推法（即用递推）如：.vi.构造二项式.如：证明：这里构造二项式其中的系数，左边为，而右边四、排列、组合综合（1）直接法（2）间接法（3）捆绑法（4）插空法（5）占位法（6）调序法（7）平均法（8）隔板法（9）定位问题（10）指定元素排列组合问题五、二项式定理.1.⑴二项式定理：.展开式具有以下特点：项数：共有项；系数：依次为组合数每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幕排列，b的升幕排列展开.⑵二项展开式的通项.展开式

3、中的第项为：.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数最大.I.当n是偶数时，中间项是第项，它的二项式系数最大；II.当n是奇数时，中间项为两项，即第项和第项，二项式系数最大.③系数和：例题释疑1：由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是（A）72（B）96（C）108（D）1442：现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜四项工作，则不同安排

4、方案的种数是A．152B.126C.90D.543：将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为A.18B.24C.30D.364：2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A.60B.48C.42D.365：名学生和2位第师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（A）（B）（C）（D）6：n个元素全排列，其中m个元素顺序不变，共有多少种不同的排法？7：平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有.例如：从1，2，3，4中任取2个元素将其平均

5、分成2组有几种分法？有（平均分组就用不着管组与组之间的顺序问题了）又例如将20名运动员平均分成两组，其中两名种子选手必在一组的概率是多少？:（）8：隔板法：常用于解正整数解组数的问题.（即共有多少组解）例如：的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然，故（）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图所示）故方程的解和插板的方法一一对应.即方程的解的组数等于插隔板的方法数9：定位问题：从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定

6、某r个元素都包含在内，并且都排在某r个指定位置则有.10：组合问题中分组问题和分配问题（1）均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为（其中A为非均匀不编号分组中分法数）.如果再有K组均匀分组应再除以.例：10人分成三组，各组元素个数为2、4、4，其分法种数为.若分成六组，各组人数分别为1、1、2、2、2、2，其分法种数为（2）均匀编号分组：n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序，其分法种数为.例：10人分成三组，人数分别为2、4、4，参加三种不同劳动，分法种数为（3）非均匀不编号分组：将n个不同元素分成不编号

7、的m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间顺序，不管是否分尽，其分法种数为…例：10人分成三组，每组人数分别为2、3、5，其分法种数为若从10人中选出6人分成三组，各组人数分别为1、2、3，其分法种数为.（4）非均匀编号分组:n个不同元素分组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为例：10人分成三组，各组人数分别为2、3、5，去参加不同的劳动，其安排方法为：种.二项式一般来说为常数）在求系数最大的项或最