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1、第二节变换的复合与二阶矩阵的乘法及逆变换与逆矩阵121.二阶矩阵的乘法及其性质(1)二阶矩阵的乘法3(2)二阶矩阵乘法的性质设A,B,C是任意的三个二阶矩阵,①结合律(AB)C=_______;特别地：AkAl=____,(Ak)l=___;②矩阵的乘法不满足_______;③矩阵的乘法不满足消去律.Ak+lAkl交换律A(BC)42.逆矩阵的定义、性质及其求法(1)定义：设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得__________,则称矩阵A可逆，并称B是A的逆矩阵.(2)性质：性质1:设A是一个二阶矩阵,如果A是可逆的,则A的逆矩阵是_______.性质
2、2:设A,B是二阶矩阵,如果A,B都可逆,则AB也可逆,且(AB)-1=______.BA=AB=E2唯一的B-1A-15(3)求法:①二阶行列式：矩阵表达式______称为二阶行列式，记作______，也称为二阶矩阵A的行列式，记为
3、A
4、或detA;②求法：二阶矩阵可逆，当且仅当
5、A
6、=ad-bc≠0.当矩阵可逆时，A-1=.ad-bcad-bc63.逆矩阵与二元一次方程组(1)定理:如果关于变量x,y的二元一次方程组(线性方程组)的系数矩阵可逆,那么该方程组有唯一解_____________(2)推论:关于变量x,y的二元一次方程组其中a,b,c,d是不全为
7、零的常数,有非零解的充分必要条件是系数矩阵的行列式____________.7判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).(1)设则()(2)对于矩阵A,B,AB=BA.()(3)对于矩阵A,B,C,若AC=BC,则A=B.()(4)每一个二阶矩阵都可逆.()(5)如果A,B都可逆，则AB也可逆.()8【解析】(1)错误.由矩阵乘法的运算法则可知.(2)错误.矩阵的乘法运算不满足交换律.(3)错误.矩阵的乘法运算不满足消去律.(4)错误.当
8、A
9、=0时矩阵不可逆.(5)正确.由可逆矩阵的性质知正确.答案:(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√9考向1二
10、阶矩阵的乘法及其应用【典例1】在直角坐标系中，△OAB的顶点坐标O(0,0)，A(2,0)，求△OAB在矩阵MN的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵10【思路点拨】由矩阵M,N先计算出MN；再分别计算出点O，A，B在MN的作用下点的坐标，再结合图形求三角形的面积.【规范解答】11可知O，A，B三点在矩阵MN作用下变换所得的点分别为O′(0,0),A′(2,0),B′(2,-1).可知△O′A′B′的面积为1.12【互动探究】在本题中，试求在矩阵NM的作用下变换所得的图形的面积.【解析】可知O,A,B三点在矩阵NM的作用下变换所得的点分别为O′(0,0),A′
11、(2,0),B′(0,-1)，可知△O′A′B′的面积为1.13【拓展提升】矩阵的乘法运算的关注点(1)熟练掌握二阶矩阵的乘法运算法则,注意其用前矩阵的“行”元素,与后矩阵的“列”元素相乘相加的特点.(2)二阶矩阵的乘法运算与二阶矩阵和平面向量的乘法在实质上是一致的.可以类比理解.(3)二阶矩阵的乘法常与矩阵的其他运算,如矩阵的相等、逆矩阵等相结合.(4)变换的复合等价于相应矩阵的乘法运算，采用矩阵的乘法运算可以简化变换的过程，起到化繁为简的作用.14【变式备选】在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(－2,0)，C(－2,1)．设k为非零实数，矩阵点
12、A，B，C在矩阵MN对应的变换下得到的点分别为A1，B1，C1，△A1B1C1的面积是△ABC的面积的2倍，求k的值．15【解析】由题设得可知A1(0,0),B1(0,-2),C1(k,-2).计算得△ABC的面积是1,△A1B1C1的面积是
13、k
14、,由题设知
15、k
16、=2×1=2,所以k的值为-2或2.16考向2逆矩阵的求法【典例2】(2012·福建高考)设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1．(1)求实数a，b的值.(2)求A2的逆矩阵.【思路点拨】首先由变换前后的曲线方程、变换公式建立关于a,b的关系式，从而求出a,b，即
17、得矩阵A，再计算A2及其逆矩阵.17【规范解答】(1)设曲线2x2+2xy+y2=1上任一点P(x,y)在矩阵A对应变换下的像是P′(x′,y′)，又点P′(x′,y′)在x2+y2=1上，所以x′2+y′2=1，即a2x2+(bx+y)2=1,整理得(a2+b2)x2+2bxy+y2=1.依题意得因为a＞0，所以18(2)由(1)知，19【拓展提升】求逆矩阵的两个方法(1)待定系数法：设出矩阵A-1，再利用AA-1=E2,列出方程组求相应的元素.(2)公式法：先求出
18、A
19、，再代入公式A-1=【提醒】逆矩阵求解公式的特点将矩阵A的所有元素均除以
20、A
21、后，a11与
22、a22互换，a12与a2
