【高3数学】12-复数的向量表示及复数的三角形式.doc

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1、复数的向量表示及复数的三角形式基础概念一、基础知识概述由于解方程的需要，我们引进了复数和及其四则运算，并建立了复数集和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对立，我们还学过向量及其运算，在些基础上，我们现在一起来学习复数的向量表示、复数的三角形式及其运算、复数的指数形式、复数的运算的几何意义．二、重点知识归纳及讲解1、复数的向量表示：复数集与复平面内的向量集合（为原点）一一对应．说明：（1）零向量表示复数0，相等的向量表示同一个复数；（2）向量的模就是复数（、）的模，即．2、复数的三角形式及运算：（1）

2、复数的幅角：设复数对应向量，以轴的正半轴为始边，向量所在的射线（起点为）为终边的角，叫做复数的辐角，记作，其中适合的辐角的值，叫做辐角的主值，记作．说明：不等于零的复数的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差的整数倍．（2）复数的三角形式：叫做复数的三角形式，其中，，．说明：任何一个复数均可表示成的形式．其中为的模，为的一个辐角．（3）复数的三角形式的运算：设，，．则1）乘法：；82）除法：；3）乘方：；4）开方：．3、复数的几何意义：（1）复数模的几何意义：，即点到原点的距离，一般地即点到点的距离

3、．（2）复数加、减法的几何意义：图中给出的平方四边形，可以直观地反映出复数加、减法的几何意义．即，．（3）复数乘、除法的几何意义：设，则的几何意义是把的对应向量按逆时针方向旋转一个角（如果，就要把按顺时针方向旋转一个角，再把它的模变为原来的倍，所得向量即表示积，如图，，的几何意义是把的对应向量按顺时针方向旋转一个角（如果，就要把按逆时针方向旋转一个角，再把它的模变为原来的倍，所得的向量即表示商．4、复数的指数形式：8把模为1，辐角为（以弧度为单位）的复数用记号表示，即，由此任何一个复数就可以表示为形式

4、，我们把这一表达式叫做复数的指数形式．三、难点知识剖析复数的几何意义的理解是本讲的难点．由于复数集与平面点集间的一一对应关系，使得复数问题常常可用几何方法来解决，几何问题常常可用复数语言来表述，要善于运用“数形结合”的解题思想来思考，分析这类问题，找出最简捷的解题方法．复数的模可以帮助我们表示出一些常用曲线方程．如圆：；线段中垂线：；椭圆：；双曲线：．典型例题例1、已知，且，复数．（1）求的三角形式；（2）若，求的取值范围．解析：（1），1）当时，则，而，∴此时三角形式为．2）当时，则，而，∴此时三角

5、形式为．8（2）当，，∴，∴，而，∴；当，，∴，∴，而，∴．评析：化含三角函数关系的复数为三角形式时，应把握概念，准确运用有关三角公式．例2、设，，且，．（1）存在实数、，使成立，求、；（2）若，求．解析：（1）依题意可设，则．∵∴．∴，且，即．∴，且．∴当时，．当时，．（2）若，则，即．8∴，，∴．例3、复数与满足：，，且，，问：当为何值时，取得最大值和最小值？并求出这一最大值和这一最小值．解析：设，则，且．∴．∴，∴，即，∴（显然）．∴，即．当时，，解得或；当时，，∴．即或时，，而时，．例4、设复

6、数、、满足：，，，其中，若、、在复平面上所对应的点分别是、、，求的面积．解析：由复数及复数乘法的几何意义，点在单位圆上，设其辐角主值为，点是，其辐角主值是，∵，∴点是将逆时针旋转角后对应向量的终点，同理向量则是由向量逆时针旋转后，再将模伸长为模的3倍而得到．8如图所示：∴．例5、已知复数满足，求复数的模的最大、小值及对应的．解析：方法一：∵．、．∴，∴，∴．而当时，，∴当时，；而当时，．方法二：设．∴．8∵，∴，．∴，且当时，；当时，．高考中对复数的考查多集中在复数的概念以及复数的代数运算，对复数的三

7、角形式的考查不多．有时可能采取一题多法，即设复数的代数形式和复数的三角形式均可解，只不过运用三角形式解答时较方便．基础练习一、选择题1、复数的辐角主值是（）A．B．C．D．2、设，，给出复数：，，其中能确定为复数的三角形式的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个3、已知，（，），则（）A．B．C．D．4、若，则复数的辐角主值是（）A．B．C．D．5、若，则（）A．B．C．0D．16、设，若，则最小的正整数（）A．1B．2C．5D．77、在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是

8、（）A．B．C．D．88、、是两个非零复数，且分别对应点、，则的充要条件是（）A．B．的实部为0C．D．的虚部为09、复数满足条件：，则的最大值是（）A．B．C．D．10、设（、），且，则复数的对应点的轨迹是（）A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线二、综合题11、已知和均为复数，且，为纯虚数，求和的取值范围．12、设复数、分别对应复平面上的、点，、的辐角分别为、，且的面积为定值（为原点），若的重心点对应复数．（1）求点的轨迹方程，并指明轨迹类型；（2）求的