复数的向量表示.ppt

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1、§5.2复数的向量表示一、引入事实上,把数系从实数集扩充为复数集后,不仅可以把原来在实数集中开方运算不总可以实施的矛盾得以解决,而且还可以用来表示坐标平面上的点.根据复数相等的定义,我们知道,任何一个复数z=a+bi,都可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定;我们还知道,有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的.由此,可以建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的一一对应.二、基础知识1.复数的点表示建立复平面:在直角坐标系中,把x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴,这个坐标系叫做复平面.复数z=a+bi可用点Z(a,b)表示,横坐标a是复数z的实部,纵

2、坐标b是复数z的虚部,其中a,bR..Z:a+biOaxyb实轴上的点都表示实数;除了原点以外,虚轴上的点都表示虚数.复数z=a+bi复平面点Z(a，b)一一对应这是复数的一种几何意义.2.共轭复数当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数称为共轭复数.特别地,虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.复数z的共轭复数用表示,即z=a+bi,则=a-bi.的充分必要条件是.z∈{纯虚数}的充分必要条件是.复平面内与一对共轭复数对应的点Z和关于实轴对称.:a-bi-bOaxyZ:a+bib3.复数的向量表示设复数z=a+bi对应点Z(a,b),连结O

3、Z,则向量OZ表示复数z,(规定实数0与零向量对应).复数z=a+bi平面向量OZ一一对应Z:a+biybOaxoz我们常把复数z=a+bi说成点Z或向量OZ,并规定,相等的向量表示同一个复数.向量OZ的模r叫做复数z=a+bi的模(绝对值),记作

4、z

5、或

6、a+bi

7、.即

8、z

9、=

10、a+bi

11、=r=a2+b2≥0.模的几何意义:表示该复数在复平面内对应点与原点之间的距离.注意:任意两个复数不一定可以比较大小,但它们的模由于都是非负的实数,所以一定能比较大小.显然有.4.复平面上的区域或轨迹问题模的几何意义表明模可以用来表示点的轨迹.例如满足

12、z

13、=r(>0

14、)的点的轨迹是以原点为圆心,r为半径的圆.复数与点的一一对应,使复数问题与解析几何问题相互转化.如果复数的实部与虚部是一对实变量,那么对应的点在复平面上就是动点.如果变量按某种条件变化,那么复平面上对应点就构成具有某种特征的点的集合或轨迹,这样就把数与形有机地结合起来了.下面的图形是几种常见的轨迹图.z=a+biZ(a,b)OZ一一对应一一对应一一对应-aoax-aoax-a-bobaxyyy

15、z

16、=a

17、z

18、

19、z

20、

21、Re(z)

22、a

23、Im(z)

24、

25、Im(z)

26、bbb三、例题分析例1:试求实数m的值或取值范围,使复数

27、z=(m2-m+2)+(m2-3m+2)i在复平面内的对应点在(1)实轴的负半轴上;(2)第二象限.解:(1)(2)例2:解方程:3z+

28、z

29、=1-3i.解:设z=x+yi(x,y∈R),则3(x+yi)+

30、x+yi

31、=1-3i,即3x++3yi=1-3i.由复数相等的条件得:所以z=-i.延伸1:已知z=

32、z

33、i,求复数z的对应点的轨迹.解:设z=x+yi(x,y∈R),则x+yi=所以复数z的对应点的轨迹是虚轴的上半轴和原点(即轨迹是一条射线).例3:设全集为C,A={z

34、

35、

36、z

37、-1

38、=1-

39、z

40、,z∈C},B={z

41、

42、z

43、<1,z∈C},若z∈A∩

44、(CCB),求复数z在复平面内对应点的轨迹.解:由

45、

46、z

47、-1

48、=1-

49、z

50、∈R,得

51、z

52、-1≤0,即

53、z

54、≤1;故A={z

55、

56、z

57、≤1,z∈C}.由B={z

58、

59、z

60、<1,z∈C}知,CCB={z

61、

62、z

63、≥1,z∈C}.而z∈A∩(CCB),所以

64、z

65、≤1且

66、z

67、≥1,从而

68、z

69、=1.所以复数z在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆.y-11-1O1x解:(1)O12xy-2(2)O2xy(3)由已知得例4:画出满足下列条件的复数z的对应点的图形:(1)1≤Re(z)≤2;(2)

70、z

71、=2且Re(z)>Imz;(3)z=-1+ai且

72、z

73、≤.所

74、以轨迹是连接(-1,-1)与(-1,1)的线段(包括端点).-1Ox-1y1四、小结1.复数与点及向量均建立了一一对应关系,这两种对应关系是把复数给以几何解释的依据.学习时要注意从不同的角度认识并分析复数问题,以便寻求最佳的解题途径.2.由复平面内适合某种条件的点的集合来求其对应的复数集时,通常是由其对应关系列出方程或不等式(组)成混合组,求得复数的实部、虚部的值或范围,来确定所求的复数集.3.复数与其对应点之间的相互转化是通过复数的实部、虚部与点的坐标间的关系来实现的.4.数的范围扩充后,原有的运算性质在新的数域内不一定成立,所以实数范围内的运算性质,在

75、复数范围内需证明后方可使用.五、作业5.要重视共轭复数及其性质的应