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时间:2020-09-04
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1、学科:数学教学内容:复数的向量表示 【基础知识导引】 1.掌握复数的几何表示法,理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义. 2.理解共轭复数的概念,了解共轭复数的基本性质. 3.掌握复数的向量表示,理解复数z、复平面内的点Z及向量之间的一一对应关系. 4.理解复数的模的概念及其几何意义,掌握复数的模的计算方法. 【教材内容全解】 1.复数的几何表示是指用复平面内的点Z(a,b)来表示复数z=a+bi.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。x轴叫实轴,y轴叫虚轴.实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.任何一个复
2、数z=a+bi,都是由一个有序数对(a,b)惟一确定,所以复数集与复平面内所有的点构成的集合是一一对应的. 2.当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数,实数的共轭复数就是本身. 由共轭复数的定义,有下列结论:(1)z为实数; (2)z为纯虚数,且z≠0; (3); (4)互为共轭复数的两个复数,在复平面内对应的点关于实轴对称. 3.设z=a+bi在复平面内对应的点为Z,用向量可以表示复数z。显然是由点Z惟一确定,因此,复数集C与复平面内由原点出发的向量也是一一对应的,即复数z=a+bi,点Z(a,b),向量三者
3、之间有如下对应关系: 4.关于复数的模,应从以下几个方面来加深对这一概念的理解. (1)计算公式:。 (2)几何意义:复数z=a+bi的模是点Z(a,b)到原点的距离,即向量的模(长度)。 (3)。 (4)复数的模是实数的绝对值概念的推广。 (5)两个不全为实数的复数不能比较大小,但任何两个复数的模是可以比较大小的。 【难题巧解点拨】 例1已知复数是4-20i的共轭复数,求x的值。 解因为4-20i的共轭复数是4+20i,根据复数相等的定义,可得 解之,得x=-3。 例2实数x分别取什么值时,复数对应的点Z在(1)第三象
4、限?(2)第四象限?(3)直线x-y-3=0上? 分析因为x是实数,所以,也是实数。若复数z=a+bi,则当a<0,且b<0时,复数z对应的点在第三象限;当a>0,且b<0时,复数z对应的点的第四象限;当a-b-3=0时,复数z对应的点在直线x-y-3=0上。 解(1)实数x应满足 解之,得-35、点Z构成的图形。 解因为x,y∈R,所以3x+2y、都是实数。 由题设及共轭复数的定义,得,所以,即点Z(x,y)的坐标满足方程,因此,点Z构成的图形是以原点为圆心,以1为半径的单位圆(图5-1)。 例4设z=x+yi(x,y∈R),且6、z7、≤2。试画出满足下列条件的点Z的集合的图形: (1)y>1;(2)x+y=2。 解(1)图5-2中阴影部分(2)图5-3中线段AB 例5复数z=a+bi(a,b∈R),满足8、z-3+i9、=5。 (1)求实数z;(2)求纯虚数z。 分析对z为实数与纯虚数时分别讨论,由复数模的定义,列方程求解10、。 解(1)z=a+bi(a,b),∵z∈R,∴b=0。 由11、z-3+i12、=5,得, 解之,得。 因此,。 (2)z=a+bi(a,b∈R),∴z为纯虚数,∴a=0,且b≠0。 由13、z-3+i14、=5,得, 解之,得b=3,或b=-5。 因此,z=3i,或z=-5i。 例6已知,,其中x,y∈R,若,,求z=x+yi的值。 分析根据复数模的计算公式及,,可列出关于x,y的方程组,解这个方程组,可求出x,y的值。 解根据复数模的计算公式及已知条件,可得方程组 解之,得或 所以z=-2i,或z=2i。 例7已知复数z≠015、,如果,证明z为纯虚数。 证明设z=a+bi(a,b∈R)。∵z≠0,∴a,b不同时为零。 ,由,则a-bi=-a-bi。 ∴,又a,b不同时为零, ∴∴z=a+bi(b≠0)为纯虚数。 例8已知z-16、z17、=-1+i,求复数z。 解法1设z=x+yi(x,y∈R),依题意,可得: ,即。 由复数相等定义,得 解之,得 因此z=i。 解法2由已知可得z=18、z19、-1+i,等式两边取模,得20、z21、=22、23、z24、-1+i25、,即。 解之,得26、z27、=1。 把28、z29、=1代入原方程,得z=i。 说明本例的解法1是通过复数相等的条件,把复数问30、题转化为实数问题来解决的;而解法2是直接用复数的性质来求解的,这两种解法都是解决复数问题的基本方法。
5、点Z构成的图形。 解因为x,y∈R,所以3x+2y、都是实数。 由题设及共轭复数的定义,得,所以,即点Z(x,y)的坐标满足方程,因此,点Z构成的图形是以原点为圆心,以1为半径的单位圆(图5-1)。 例4设z=x+yi(x,y∈R),且
6、z
7、≤2。试画出满足下列条件的点Z的集合的图形: (1)y>1;(2)x+y=2。 解(1)图5-2中阴影部分(2)图5-3中线段AB 例5复数z=a+bi(a,b∈R),满足
8、z-3+i
9、=5。 (1)求实数z;(2)求纯虚数z。 分析对z为实数与纯虚数时分别讨论,由复数模的定义,列方程求解
10、。 解(1)z=a+bi(a,b),∵z∈R,∴b=0。 由
11、z-3+i
12、=5,得, 解之,得。 因此,。 (2)z=a+bi(a,b∈R),∴z为纯虚数,∴a=0,且b≠0。 由
13、z-3+i
14、=5,得, 解之,得b=3,或b=-5。 因此,z=3i,或z=-5i。 例6已知,,其中x,y∈R,若,,求z=x+yi的值。 分析根据复数模的计算公式及,,可列出关于x,y的方程组,解这个方程组,可求出x,y的值。 解根据复数模的计算公式及已知条件,可得方程组 解之,得或 所以z=-2i,或z=2i。 例7已知复数z≠0
15、,如果,证明z为纯虚数。 证明设z=a+bi(a,b∈R)。∵z≠0,∴a,b不同时为零。 ,由,则a-bi=-a-bi。 ∴,又a,b不同时为零, ∴∴z=a+bi(b≠0)为纯虚数。 例8已知z-
16、z
17、=-1+i,求复数z。 解法1设z=x+yi(x,y∈R),依题意,可得: ,即。 由复数相等定义,得 解之,得 因此z=i。 解法2由已知可得z=
18、z
19、-1+i,等式两边取模,得
20、z
21、=
22、
23、z
24、-1+i
25、,即。 解之,得
26、z
27、=1。 把
28、z
29、=1代入原方程,得z=i。 说明本例的解法1是通过复数相等的条件,把复数问
30、题转化为实数问题来解决的;而解法2是直接用复数的性质来求解的,这两种解法都是解决复数问题的基本方法。
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