复数的向量表示.doc

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1、学科：数学教学内容：复数的向量表示　　　　【基础知识导引】　　1．掌握复数的几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义．　　2．理解共轭复数的概念，了解共轭复数的基本性质．　　3．掌握复数的向量表示，理解复数z、复平面内的点Z及向量之间的一一对应关系．　　4．理解复数的模的概念及其几何意义，掌握复数的模的计算方法．　　　　【教材内容全解】　　1．复数的几何表示是指用复平面内的点Z(a，b)来表示复数z=a+bi．建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面。x轴叫实轴，y轴叫虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．任何一个复

2、数z=a+bi，都是由一个有序数对(a，b)惟一确定，所以复数集与复平面内所有的点构成的集合是一一对应的．　　2．当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，实数的共轭复数就是本身．　　由共轭复数的定义，有下列结论：(1)z为实数；　　(2)z为纯虚数，且z≠0；　　(3)；　　(4)互为共轭复数的两个复数，在复平面内对应的点关于实轴对称．　　3．设z=a+bi在复平面内对应的点为Z，用向量可以表示复数z。显然是由点Z惟一确定，因此，复数集C与复平面内由原点出发的向量也是一一对应的，即复数z=a+bi，点Z(a，b)，向量三者

3、之间有如下对应关系：　　4．关于复数的模，应从以下几个方面来加深对这一概念的理解．　　（1）计算公式：。　　（2）几何意义：复数z=a+bi的模是点Z(a，b)到原点的距离，即向量的模（长度）。　　（3）。　　（4）复数的模是实数的绝对值概念的推广。　　（5）两个不全为实数的复数不能比较大小，但任何两个复数的模是可以比较大小的。　　　　【难题巧解点拨】　　例1已知复数是4-20i的共轭复数，求x的值。　　解因为4-20i的共轭复数是4+20i，根据复数相等的定义，可得　　解之，得x=-3。　　　　例2实数x分别取什么值时，复数对应的点Z在（1）第三象

4、限？（2）第四象限？（3）直线x-y-3=0上？　　分析因为x是实数，所以，也是实数。若复数z=a+bi，则当a<0，且b<0时，复数z对应的点在第三象限；当a>0，且b<0时，复数z对应的点的第四象限；当a-b-3=0时，复数z对应的点在直线x-y-3=0上。　　解（1）实数x应满足　　解之，得-3

5、点Z构成的图形。　　解因为x，y∈R，所以3x+2y、都是实数。　　由题设及共轭复数的定义，得，所以，即点Z(x，y)的坐标满足方程，因此，点Z构成的图形是以原点为圆心，以1为半径的单位圆（图5-1）。　　　　例4设z=x+yi(x，y∈R)，且

6、z

7、≤2。试画出满足下列条件的点Z的集合的图形：　　（1）y>1；（2）x+y=2。　　解（1）图5-2中阴影部分（2）图5-3中线段AB　　　　例5复数z=a+bi(a，b∈R)，满足

8、z-3+i

9、=5。　　（1）求实数z；（2）求纯虚数z。　　分析对z为实数与纯虚数时分别讨论，由复数模的定义，列方程求解

10、。　　解（1）z=a+bi(a，b)，∵z∈R，∴b=0。　　由

11、z-3+i

12、=5，得，　　解之，得。　　因此，。　　（2）z=a+bi(a，b∈R)，∴z为纯虚数，∴a=0，且b≠0。　　由

13、z-3+i

14、=5，得，　　解之，得b=3，或b=-5。　　因此，z=3i，或z=-5i。　　　　例6已知，，其中x，y∈R，若，，求z=x+yi的值。　　分析根据复数模的计算公式及，，可列出关于x，y的方程组，解这个方程组，可求出x，y的值。　　解根据复数模的计算公式及已知条件，可得方程组　　解之，得或　　所以z=-2i，或z=2i。　　　　例7已知复数z≠0

15、，如果，证明z为纯虚数。　　证明设z=a+bi（a，b∈R）。∵z≠0，∴a，b不同时为零。　　，由，则a－bi=－a－bi。　　∴，又a，b不同时为零，　　∴∴z=a+bi（b≠0）为纯虚数。　　　　例8已知z-

16、z

17、=-1+i，求复数z。　　解法1设z=x+yi(x，y∈R)，依题意，可得：　　，即。　　由复数相等定义，得　　解之，得　　因此z=i。　　解法2由已知可得z=

18、z

19、-1+i，等式两边取模，得

20、z

21、=

22、

23、z

24、-1+i

25、，即。　　解之，得

26、z

27、=1。　　把

28、z

29、=1代入原方程，得z=i。　　说明本例的解法1是通过复数相等的条件，把复数问

30、题转化为实数问题来解决的；而解法2是直接用复数的性质来求解的，这两种解法都是解决复数问题的基本方法。