2021版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第7讲 抛物线高效演练分层突破 文 新人教A版.doc

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1、第7讲　抛物线[基础题组练]1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1，1)，则该抛物线的焦点坐标为(　　)A．(－1，0)B．(1，0)C．(0，－1)D．(0，1)解析：选B.抛物线y2＝2px(p>0)的准线为x＝－且过点(－1，1)，故－＝－1，解得p＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1，0)．2．(2020·湖南省湘东六校联考)抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m，－3)到焦点的距离为4，则抛物线方程为(　　)A．x2＝8yB．x2＝4yC．x2＝－4yD．x2＝－8y解析：选C.

2、依题意，设抛物线的方程为x2＝－2py(p>0)，则＋3＝4，所以p＝2，所以抛物线的方程为x2＝－4y，故选C.3．若点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4，则该抛物线方程是(　　)A．y2＝xB．y2＝xC．y2＝2xD．y2＝x解析：选A.根据对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是4，故AB2＝4，故AB＝4，正三角形的高为2，故可设点A的坐标为(2，2)，代入抛物线方程得4＝4p，解得p＝，故所求抛物线的方程为y2＝x.故选A.4．(2020·甘肃张掖第一次

3、联考)已知抛物线C1：x2＝2py(y>0)的焦点为F1，抛物线C2：y2＝(4p＋2)x的焦点为F2，点P在C1上，且

4、PF1

5、＝，则直线F1F2的斜率为(　　)A．－B．－C．－D．－7解析：选B.因为

6、PF1

7、＝，所以＋＝，解得p＝.所以C1：x2＝y，C2：y2＝4x，F1，F2(1，0)，所以直线F1F2的斜率为＝－.故选B.5．(2020·吉林第三次调研测试)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(4，3)，P为抛物线上一点，且P不在直线AF上，则△PAF周长取最小值时，线段PF的长为(　　)A．1B

8、.C．5D．解析：选B.求△PAF周长的最小值，即求

9、PA

10、＋

11、PF

12、的最小值，设点P在准线上的射影为D，根据抛物线的定义，可知

13、PF

14、＝

15、PD

16、，因此，

17、PA

18、＋

19、PF

20、的最小值，即

21、PA

22、＋

23、PD

24、的最小值，根据平面几何知识，可得当D，P，A三点共线时

25、PA

26、＋

27、PD

28、最小，此时P，PF的长为＋1＝，故选B.6．在直角坐标系xOy中，有一定点M(－1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，则该抛物线的准线方程是．解析：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x－4y＋5＝0，把焦

29、点坐标代入可求得p＝，所以准线方程为y＝－.答案：y＝－77．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝.　解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，＝p，所以B.又因为点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.答案：68．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2，0)，则抛物线C的方程是；若M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，且M为FN的中点，则

30、FN

31、＝．解析：抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F(2，0)，可得p＝4，则

32、抛物线C的方程是y2＝8x.由M为FN的中点，得M的横坐标为1，代入抛物线方程得y＝±2，则M(1，±2)，则点N的坐标为(0，±4)，所以

33、FN

34、＝＝6.答案：y2＝8x　69．顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y＝2x－4所得的弦长

35、AB

36、＝3，求此抛物线的方程．解：设所求的抛物线方程为y2＝ax(a≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，把直线y＝2x－4代入y2＝ax，得4x2－(a＋16)x＋16＝0，由Δ＝(a＋16)2－256>0，得a>0或a<－32.又x1＋x2＝，x1x2＝4，所以

37、

38、AB

39、＝＝＝3，所以5＝45，所以a＝4或a＝－36.故所求的抛物线的方程为y2＝4x或y2＝－36x.10．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．7解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，所以p＝2.所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)．

40、又因为F(1，0)，所以kFA＝，因为MN⊥FA，所以kMN＝－.所以FA的方程为y＝(x－1)，①MN的方程为y－2＝－x，②联立①②，解得x＝，y＝，所以点N的坐标为.[综合题组练]1．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，以F为圆心，

41、FA

42、为半径的圆交l于B，D两点．若∠ABD＝90°，且△ABF的面积为9，则下列说法正确的是(　　)①△ABF是