2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第7讲 抛物线分层演练 文

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1、第7讲抛物线1．抛物线y＝ax2(a<0)的准线方程是(　　)A．y＝－　　　　　　　B.y＝－C．y＝D．y＝解析：选B.抛物线y＝ax2(a<0)可化为x2＝y，准线方程为y＝－.故选B.2．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是(　　)A．y2＝12xB.y2＝8xC．y2＝6xD．y2＝4x解析：选B.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线定义，x1＋x2＋p＝8，因为AB的中点到y轴的距离是2，所以＝2，所以p＝4；所以抛物线方程为y2＝8x.故选B.3．(20

2、18·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点(－2，0)且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝(　　)A．5B．6C．7D．8解析：选D.法一：过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M(1，2)，N(4，4)，易知F(1，0)，所以＝(0，2)，＝(3，4)，所以·＝8.故选D.法二：过点(－2，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋2)，由得x2－5x＋4＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1>0，y2>0，根据根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝4.易知F(1，0)，

3、所以＝(x1－1，y1)，＝(x2－1，y2)，所以·＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝x1x2－(xx＋x2)＋1＋4＝4－5＋1＋8＝8.故选D.4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么

4、PF

5、＝(　　)A．4B.8C．8D．16解析：选B.如图，由kAF＝－知∠AFM＝60°.又AP∥MF，所以∠PAF＝60°.又

6、PA

7、＝

8、PF

9、，所以△APF为等边三角形．故

10、PF

11、＝

12、AF

13、＝2

14、MF

15、＝2p＝8.5．已知点A(2，1)，抛物线y2＝4x的焦点是F，若抛物线上存在一点P，使得

16、PA

17、＋

18、PF

19、

20、最小，则P点的坐标为(　　)A．(2，1)B.(1，1)C.D．解析：选D.如图，设抛物线准线为l，作AA′⊥l于A′，PP′⊥l于P′，则

21、PA

22、＋

23、PF

24、＝

25、PA

26、＋

27、PP′

28、≥

29、AA′

30、，　即当P点为AA′与抛物线交点时，

31、PA

32、＋

33、PF

34、最小，此时P.故选D.6．若抛物线y2＝2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为________．解析：设抛物线的顶点为O，焦点为F，P(xP，yP)，由抛物线的定义知，点P到准线的距离即为点P到焦点的距离，所以

35、PO

36、＝

37、PF

38、，过点P作PM⊥OF于点M(图略)，则M为OF的中点，所以xP＝，代入y2＝2x，得yP

39、＝±，所以P.答案：7．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，＝p，所以B.又因为点B在双曲线上，故－＝1，解得p＝6.答案：68．过点P(－2，0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且

40、PA

41、＝

42、AB

43、，则点A到抛物线C的焦点的距离为________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为D，E(图略)，因为

44、PA

45、＝

46、AB

47、，所以又得x1＝，则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝

48、.答案：9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－，于是4＋＝5，所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.(2)因为点A的坐标是(4，4)，由题意得B(0，4)，M(0，2)．又因为F(1，0)，所以kFA＝，因为MN⊥FA，所以kMN＝－.所以FA的方程为y＝(x－1)，①MN的方程为y－2＝－x，②联立①②，解得x＝，y＝，所以N的坐标

49、为.10．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

50、AB

51、＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若＝＋λ，求λ的值．解：(1)由题意得直线AB的方程为y＝2·，与y2＝2px联立，消去y有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝.由抛物线定义得

52、AB

53、＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，从而该抛物线的方程为y2＝8x.(2)由(1)得4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，则x1