2020版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线分层演练文.doc

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1、第6讲双曲线1．“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.因为方程＋＝1表示双曲线，所以(25－k)(k－9)<0，所以k<9或k>25，所以“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.2．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)A．2　　　　　　　　　　B.4C．6D．8解析：选B.由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B.3．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线

2、C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4，0)到C的渐近线的距离为(　　)A.B．2C.D．2解析：选D.法一：由离心率e＝＝，得c＝a，又b2＝c2－a2，得b＝a，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.法二：离心率e＝的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y＝±x，由点到直线的距离公式得点(4，0)到C的渐近线的距离为＝2.故选D.4．(2017·高考天津卷)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，△OAF是边长为2的等边三角形(O为原点)，则双曲线的方

3、程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－y2＝1D．x2－＝1解析：选D.由△OAF是边长为2的等边三角形可知，c＝2，＝tan60°＝，又c2＝a2＋b2，联立可得a＝1，b＝，所以双曲线的方程为x2－＝1.5．设F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使∠F1AF2＝90°且

4、AF1

5、＝3

6、AF2

7、，则双曲线的离心率为(　　)A.B.C.D．解析：选B.因为∠F1AF2＝90°，故

8、AF1

9、2＋

10、AF2

11、2＝

12、F1F2

13、2＝4c2，又

14、AF1

15、＝3

16、AF2

17、，且

18、AF1

19、－

20、AF2

21、＝2a，故10a2＝4c2，故＝，故e

22、＝＝.6．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则双曲线的方程为____________．解析：已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4，0)，(4，0)，则c＝4，a＝2，b2＝12，双曲线方程为－＝1.答案：－＝17．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，所以＝.又b2＝c2－a2，所以＝，即e2－1＝，所以e2＝，所以e＝.答案：8．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若

23、正方形OABC的边长为2，则a＝________.解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，所以a2＋b2＝c2＝(2)2，解得a＝2.答案：29．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且点(4，－)，点M(3，m)都在双曲线上．(1)求双曲线的方程；(2)求证：·＝0；(3)求△F1MF2的面积．解：(1)因为e＝，则双曲线的实轴、虚轴相等．所以可设双曲线方程为x2－y2＝λ.因为双曲线过点(4，－)，所以16－10＝λ，即λ＝6.所以双曲

24、线方程为x2－y2＝6.(2)证明：设F1(－2，0)，F2(2，0)，则＝(－2－3，－m)，＝(2－3，－m)．所以·＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，因为M点在双曲线上，所以9－m2＝6，即m2－3＝0，所以·＝0.(3)△F1MF2的底边长

25、F1F2

26、＝4.由(2)知m＝±.所以△F1MF2的高h＝

27、m

28、＝，所以S△F1MF2＝×4×＝6.10．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点．(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求AB的长．解：

29、(1)因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，点(，0)是双曲线的一个顶点，所以解得c＝3，b＝，所以双曲线的方程为－＝1.(2)双曲线－＝1的右焦点为F2(3，0)，所以经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝(x－3)．联立得5x2＋6x－27＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－.所以

30、AB

31、＝×＝.1．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为(　　)A.B.1C．2D．4解析：选C.由题意得，双曲线的两条渐近线

32、方程为y＝±x，设A(x