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时间:2020-03-13
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1、解答题《导数》答题模板模板:函数的单调性、最值、极值问题【典例】(2010·天津)已知函数f(x)=ax3-x2+1(x∈R),其中a>0.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)若在区间[-,]上,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.思维启迪(1)由解析式和切点求切线方程,先求斜率,用点斜式方程求切线方程.(2)根据导数求函数中的参数取值范围步骤:求导→求导函数的零点→确定导函数在区间中的正、负→确定函数中的参数范围.规范解答示例解 (1)当a=1时,f(x)=x3-x2+1,f(2)=3.f′(x)=3x2-3x,f
2、′(2)=6,所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为:y-3=6(x-2),即y=6x-9.(2)因为f′(x)=3ax2-3x=3x(ax-1).令f′(x)=0,解得x=0或x=.以下分两种情况讨论:①若00等价于即解不等式组得-52,则0<<.当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:x(-,0)0(0,)(,)f′(x)+0-0+f(x)增
3、极大值减极小值增当x∈[-,]时,f(x)>0等价于即解不等式组得4、,x2=.要确定x1,x2与区间端点值的大小,就必须对a进行分类讨论.这就是本题的关键点和易错点.规律方法总结数学解答题虽然灵活多变,但所考查数学知识、方法,基本数学思想是不变的,重点是思维过程、规范解答、反思回顾.结合着具体题型给出了答题程序.希望能够举一反三,对答题有所帮助.训练题.(2013浙江)已知,函数.(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)若,求在闭区间上的最小值.解:(Ⅰ)当时,,,又因为,所以切线方程为,即(Ⅱ)设在闭区间上的最小值.,令,得,,①当时,x0(0,1)1(1,a)a(a,2a)2af′(x)+0-0+f(x)0单调递增极5、大值3a-1单调递减极小值单调递增比较和的大小可得:②当时,x0(0,1)1(1,-2a)-2af′(x)-0+f(x)0单调递减极小值3a-1单调递增由上表可得:.综上所述,在闭区间上的最小值为:
4、,x2=.要确定x1,x2与区间端点值的大小,就必须对a进行分类讨论.这就是本题的关键点和易错点.规律方法总结数学解答题虽然灵活多变,但所考查数学知识、方法,基本数学思想是不变的,重点是思维过程、规范解答、反思回顾.结合着具体题型给出了答题程序.希望能够举一反三,对答题有所帮助.训练题.(2013浙江)已知,函数.(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)若,求在闭区间上的最小值.解:(Ⅰ)当时,,,又因为,所以切线方程为,即(Ⅱ)设在闭区间上的最小值.,令,得,,①当时,x0(0,1)1(1,a)a(a,2a)2af′(x)+0-0+f(x)0单调递增极
5、大值3a-1单调递减极小值单调递增比较和的大小可得:②当时,x0(0,1)1(1,-2a)-2af′(x)-0+f(x)0单调递减极小值3a-1单调递增由上表可得:.综上所述,在闭区间上的最小值为:
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