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1、高中数学高考综合复习专题五函数的性质（二）(1)定义：对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使变量X取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.认知：(Ⅰ)设f(x)定义域为I,则存在非零常数T,使对任意x∈I都有f(x+T)=f(x)f(x)为周期函数,T为f(x)的一个周期.(Ⅱ)对于定义在R上的函数f(x),若T是f(x)的一个周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是f(x)的周期.(2)延伸:设f(x)定义域为I.(Ⅰ)若存在非零常数T,使对任意x∈I都有f(x+T)=－f(x),则f(x
2、)为周期函数,且2T为f(x)的一个周期.(Ⅱ)存在非零常数a,b(a≠b),使对任意x∈I都有f(x+a)=f(x+b)（x+a与x+b的差为a-b）f(x)为周期函数,且是f(x)的一个正周期.4.反函数(1)定义:设函数y=f(x)的定义域为A,值域为C.根据函数y=f(x)中的x,y的关系,导出x=（y）,如果对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应,那么,函数x=（y）(y∈C)叫做y=f(x)(x∈A)的反函数.记作x=在函数x=中,y表示自变量,x表示函数,出于习惯和研究的方便,我们常常对调函数x=中字母x,y的位置,将
3、它改写成y=,并且约定:今后凡不特别说明,函数y=的反函数均指这种改写过的形式(矫形反函数).(2)定义的推论由y=f(x)的反函数y=的引出过程可知(1)两域互换:y=f(x)与y=的定义域和值域互换(2)等价反解:当f(x)存在反函数时,y=f(x)(x∈A,y∈C)x=(x∈A,y∈C)(3)相消性质:注意到两式中x,y的同一性,运用代入手段解,y∈C(C为反函数的定义域),x∈A(A为反函数的值域)(3)求反函数的三部曲:(ⅰ)确定f(x)值域;(ⅱ)“反解”函数式:y=f(x)x=;(ⅲ)改写并注明定义域:y=（定义域为y=f(x)的值域）.(4)反函数
4、的性质反函数除去具有定义推论中的性质之外,还有以下主要性质.(ⅰ)函数y=f(x)的图像与它的反函数y=的图像关于直线y=x对称.这一性质诠释:点(a,b)在y=f(x)图像上点(b,a)在y=图像上即b=f(a)a=(a∈A,b∈C)(ⅱ)若y=f(x)(x∈I)单调,则y=f(x)(x∈I)有反函数,并且正反函数具有同一单调性.提醒:单调函数必有反函数,但反之不一定成立.即y=f(x)(x∈I)的反函数存在时,y=f(x)在区间I上不一定是单调的,比如,f(x)=(x≠0)的反函数存在,且它的反函数就是自身,但是f(x)=在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上不单
5、调.(5)深入探索(ⅰ)函数的反函数为自身的充要条件:f(x)=y=f(x)图象自身关于直线y=x对称或者f(x)=x.(ⅱ)反函数的奇偶性:①若f(x)为奇函数且存在反函数,则其反函数亦为奇函数;②若f(x)为非奇非偶函数且存在反函数,则其反函数亦为非奇非偶函数;③若f(x)为偶函数,则在定义域是非单元素集合的情况下f(x)不存在反函数.四.经典例题.例1.(1)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f()=-f(x),又f(2)=1,f(1)=a,则a=(2)已知函数f(x)的最小正周期为2T,且f(T+x)=f(T-x)对一切实数x都成立,则对f(x)
6、的奇偶性的判定是?分析:(1)由f()=-f(x)知f(x)是周期函数,且3是f(x)的一个周期,又f(x)为偶函数f(-x)=f(x)(xR)在此基础上,寻觅已知条件中的f(2)与f(1)的联系:f(2)=f(-2)=f[(-2)+3]=f(1)而f(1)=a,f(2)=1,∴a=1(2)由f(x)的最小正周期为2T得f(x+2T)=f(x)①又这里f(x+T)=f(T-x)②为了靠拢①,在②中以(x+T)替代x的位置得f(x+2T)=f[T-(x+T)]=f(-x)③∴由①,③得f(-x)=f(x)∴f(x)为偶函数.点评:我们从上面的分析中看到,解决比较复杂
7、的问题,当已知条件中有两个(或两个以上)的等式时,要注意利用其它条件寻觅这两个(或其中两个)等式的内在联系.有关已知等量关系的联系一旦导出,难点便得以突破.例2.设定义在R上的偶函数f(x)是周期为4的周期函数,且当x[-2,0]时f(x)为增函数,若f(-2)≥0,求证:当x[4,6]时,为减函数.分析:鉴于f(x)的抽象性,考虑运用函数的单调性定义证明.注意到目标函数为,故在推理过程中要格外关注f(x)的符号.证明:设,为[4,6]上任意两值,且,即4≤≤6,则-6≤-＜-≤-4∴-2≤4－＜4－≤0∵偶函数f(x)在[-2,0]上为增函数,∴f(4－)＞f(
8、4－)≥f
