2011高考数学单元复习训练35:算数平均数与几何平均数.doc

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1、课时训练35算数平均数与几何平均数【说明】本试卷满分100分,考试时间90分钟.一、选择题(每小题6分,共42分)1.logab+logba≥2成立的必要条件是()A.a>1,b>1B.0<a,b<1C.(a-1)(b-1)>0D.以上全不对答案:C解析:logab+logba≥2成立的充要条件是logab>0,故A、B是充分条件,C是必要条件.2.下列各等式中正确的个数是()①a2+1>2a;②

2、x+

3、≥2;③≤2;④x2+≥1.A.0B.1C.2D.3答案:C解析:②④正确.3.(2010广东中山一模,9)设a、b∈R+,且a+b=4,则有()A.≥B.≥1C.≥2D.≥答案:B解析

4、:由a,b∈R+,a+b=4,知ab≤()2=4,故=≥1.4.(2010浙江高三联考,2)已知xy<0,则代数式()A.有最小值2B.有最大值-2C.有最小值-2D.不存在最值答案:B解析:因x2+y2≥2

5、xy

6、=-2xy,又xy<0,故≤-2.5.(2010重庆万州区一模,5)若实数x、y满足x2+y2=1,则(1-xy)(1+xy)的最小值为()A.1B.C.D.答案:C解析:∵2

7、xy

8、≤x2+y2=1,∴

9、xy

10、≤.(1-xy)(1+xy)=1-x2y2≥1-()2=.6.当点(x,y)在直线x+3y-2=0上移动时,表达式3x+27y+1的最小值是()A.3B.1+2C.6

11、D.7答案:D解析:3x+27y+1=3x+33y+1≥2+1=2+1=7.7.甲、乙两个同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则()A.甲先到教室B.乙先到教室C.两人同时到教室D.谁先到教室不确定答案:B解析:设甲用时T,乙用时2t,步速为a,跑步速度为b,距离S.则T=,ta+tb=s2t=,∴T-2t=-=s×>0,故T>2t.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知a、b∈R+,且a+b=1,则≥m,恒成立的实数m的最大值是________________.答案:4解析:=()(a+b)=2+≥4.所以的

12、最小值为4,m≤恒成立,m的最大值是4.9.在下面等号右侧两个分数的分母括号处,各填上一个自然数,并且使两个自然数的和最小.1=.答案:412解析:设所求数为m,n故求μ=m+n的最小值,且=1.又μ=(m+n)·1=(m+n)·()=10+≥16,此时m=4,n=12.10.已知双曲线(x-h)(y-k)=a(a≠0)的水平渐近线为y=k,垂直渐近线为x=h,双曲线中心为(h,k),若双曲线y=上的点到它的水平渐近线、垂直渐近线、中心的距离分别为d1,d2,d3,则d1+d2+d3的最小值为___________________.答案:2+解析:设点P为(x0,y0),易知水平渐近线为x

13、=1时,垂直渐近线为y=1,中心为(1,1),故d1=

14、y0-1

15、,d2=

16、x0-1

17、,d3=,∴d1+d2+d3=

18、

19、+

20、x0-1

21、+≥2+.等号当且仅当

22、

23、=

24、x0-1

25、即x0=0或x0=2时成立.三、解答题(11—13题每小题10分,14题13分,共43分)11.(1)求函数y=x+(x<0)的最大值;(2)求函数y=+x(x>3)的最小值.解析:(1)x<0,∴y=x+=-[(-x)+]≤-2=-.当且仅当x=-时,取等号.∴ymax=-.(2)∵x>3,∴y=+x=+(x-3)+3≥5.当且仅当x-3=,即x=4时,取等号.∴ymin=5.12.设a、b、c∈R+,求证:++≥(

26、a+b+c).证明:∵a2+b2≥2ab,∴2(a2+b2)≥(a+b)2①于是≥

27、a+b

28、=(a+b).②同理:≥(b+c),≥(c+a).③①+②+③式相加得:++≥(a+b+c).13.某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状),高度恒定,它的后墙利用旧墙不花钱,正面用铁栅,每米长造价40元,两侧墙砌砖,每米造价45元,屋顶每平方米造价20元,试计算:(1)仓库面积S的最大允许值是多少?(2)为使S达到最大,而实际投资又不超过预算,那么正面铁栅应设计为多长?解析:(1)设铁栅长为x米,一堵砖墙长为y米,则S=xy,由题意得40x+2×45y+20xy=3200,应用二元均值不等式,

29、得3200≥2+20xy,即S+6≤160,而(+16)(-10)≤0.∴≤10S≤100.因此S的最大允许值是100米2.(2)当即x=15米,即铁栅的长为15米.14.是否存在常数c,使得不等式≤c≤对任意正实数x,y恒成立?证明你的结论.解析:存在常数c=.证明:令故有=≤-=,同理可证≥.

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