中点想到的辅助线.doc

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1、中点想到的辅助线　　在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其相关性质（直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。　　一、三角形的一条中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形　　即如图1，AD是ΔABC的中线，则SΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。　　例1．如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。　　解：因为AD是ΔABC的中线，所以SΔACD=SΔAB

2、C=×2=1，又因CD是ΔACE的中线，故SΔCDE=SΔACD=1，因DF是ΔCDE的中线，所以SΔCDF=SΔCDE=×1=。　　∴ΔCDF的面积为。　　二、由中点应想到利用三角形的中位线　　例2．如图3，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。　　证明：连结BD，并取BD的中点为M，连结ME、MF，　　∵ME是ΔBCD的中位线，　　∴MECD，∴∠MEF=∠CHE，　　∵MF是ΔABD的中位线，　　∴MFAB，∴∠MFE=∠BGE，　　∵AB=CD，∴ME=MF，∴∠MEF=∠MF

3、E，　　从而∠BGE=∠CHE。　　三、由中线应想到延长中线，使延长的部分等于中线长　　例3．如图4，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。　　解：延长AD到E，使DE=AD，则AE=2AD=2×2=4。　　在ΔACD和ΔEBD中，　　∵AD=ED，∠ADC=∠EDB，CD=BD，　　∴ΔACD≌ΔEBD，∴AC=BE，　　从而BE=AC=3。　　在ΔABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故∠E=90°，　　∴BD===，故BC=2BD=2。　　例4．如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：

4、ΔABC是等腰三角形。　　证明：延长AD到E，使DE=AD。　　仿例3可证：ΔBED≌ΔCAD，故EB=AC，∠E=∠2，又∠1=∠2，　　∴∠1=∠E，∴AB=EB，从而AB=AC，即ΔABC是等腰三角形。　　四、由直角三角形应想到它的斜边中线的性质　　例5．如图6，已知梯形ABCD中，AB//DC，AC⊥BC，AD⊥BD，求证：AC=BD。　　证明：取AB的中点E，连结DE、CE，则DE、CE分别为RtΔABD，RtΔABC斜边AB上的中线，故DE=CE=AB，因此∠CDE=∠DCE。　　∵AB//DC，∴∠CDE=∠1，∠DCE=∠2，∴∠1=∠2，　　在ΔADE和ΔBC

5、E中，∵DE=CE，∠1=∠2，AE=BE，　　∴ΔADE≌ΔBCE，∴AD=BC，从而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。　　五、由平分一个角且与一条线垂直的线段，应想到该线段是某个等腰三角形的中线　　例6．如图7，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。　　证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中，　　∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°，　　∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。　　又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。　　在ΔABD和

6、ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°，　　∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。　　注：此例中BE是等腰ΔBCF的底边CF的中线。与中点有关的辅助线作法例析安徽省利辛县教育局督导室　夏　飞线段的中点是几何图形中的一个特殊点．在解决与中点有关的问题时，如果能适当地添加辅助线、巧妙地利用中点，则是处理中点问题的关键．但由于含有中点条件问题的辅助线的作法灵活，不少同学难以掌握。下面就针对中点问题举例谈谈几种添加辅助线的方法．一、遇到中点找中点这种方法常用于解决三角形和梯形的有关问题，主要是连接两个中点作中位线，并利用其性质．因此，在三角形中，

7、已知三角形两边中点，连结两个中点，即可构造三角形的中位线；在梯形中，已知梯形两腰中点，连结两个中点，即可构造梯形的中位线．例1：如图1，，E、F分别为BC、AD的中点，射线BA、EF交于点G，射线CD、EF交于点H．求证：．分析：连接AC，并取其中点P，构造△PEF，证明，再利用中位线的性质即可得证．证明：连接AC，取AC的中点P，连接PE、PF．∵E为BC的中点，∴PE∥AB，，同理PF∥CD，．∵，∴，，由PE∥AB，得，由PF∥CD，得．说明：已知三角形一边的中点或梯形一腰的中点，常过