高考数学第三章导数及其应用第3讲导数与函数的极值、最值高效演练分层突破文新人教A版.docx

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1、第3讲　导数与函数的极值、最值[基础题组练]1．函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是(　　)A．25，－2　　　　　　　B．50，14C．50，－2D．50，－14解析：选C.因为f(x)＝2x3＋9x2－2，所以f′(x)＝6x2＋18x，当x∈[－4，－3)或x∈(0，2]时，f′(x)＞0，f(x)为增函数，当x∈(－3，0)时，f′(x)＜0，f(x)为减函数，由f(－4)＝14，f(－3)＝25，f(0)＝－2，f(2)＝50，故函数f(x)＝2x3＋9x2－2在[－4，2]上的最大值和最小值分别是50，－2.2．已知函数y＝f(x

2、)的导函数f′(x)的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间内单调递增；②当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值；③函数y＝f(x)在区间(－2，2)内单调递增；④当x＝3时，函数y＝f(x)有极小值．则上述判断正确的是(　　)A．①②B．②③C．①②④D．③④解析：选B.对于①，函数y＝f(x)在区间内有增有减，故①不正确；对于②，当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极小值，故②正确；对于③，当x∈(－2，2)时，恒有f′(x)>0，则函数y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增，故③正确；对于④，当x＝3时，f′(x)≠0，故④不正确．3．已知函数f(x)＝

3、2f′(1)lnx－x，则f(x)的极大值为(　　)A．2B．2ln2－2C．eD．2－e解析：选B.函数f(x)定义域(0，＋∞)，f′(x)＝－1，所以f′(1)＝1，f(x)＝2lnx－x，令f′(x)＝－1＝0，解得x＝2.当00，当x>2时，f′(x)<0，所以当x＝2时函数取得极大值，极大值为2ln2－2.4．用边长为120cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为(　　)A．120000cm3B．128000cm3C．150000cm3D．158000cm3解析：

4、选B.设水箱底长为xcm，则高为cm.由得0＜x＜120.设容器的容积为ycm3，则有y＝－x3＋60x2.求导数，有y′＝－x2＋120x.令y′＝0，解得x＝80(x＝0舍去)．当x∈(0，80)时，y′＞0；当x∈(80，120)时，y′＜0.因此，x＝80是函数y＝－x3＋60x2的极大值点，也是最大值点，此时y＝128000.故选B.5．函数f(x)＝3x2＋lnx－2x的极值点的个数是(　　)A．0B．1C．2D．无数解析：选A.函数定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝6x＋－2＝，由于x>0，g(x)＝6x2－2x＋1的Δ＝－20<0，所以g(x)>0恒成立，故

5、f′(x)>0恒成立，即f(x)在定义域上单调递增，无极值点．6．函数f(x)＝x3－3x2＋4在x＝处取得极小值．解析：由f′(x)＝3x2－6x＝0，得x＝0或x＝2.列表x(－∞，0)0(0，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以在x＝2处取得极小值．答案：27．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1.若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为6，则实数a＝；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是．解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，结合题意f′(1)＝3a＋9＝6，解得a＝－1；若函数

6、在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0在(－1，3)内有2个不相等的实数根，则解得－

7、<－2或x>1时，f′(x)>0，此时函数f(x)为增函数，当－2