高考数学第二章函数概念与基本初等函数第3讲二次函数与幂函数教案文新人教A版.docx

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1、第3讲　二次函数与幂函数一、知识梳理1．幂函数(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.(2)性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．2．二次函数(1)二次函数解析式的三种形式①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋

2、n(a≠0)；③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在上单调递减；在上单调递增；在上单调递增在上单调递减奇偶性当b＝0时为偶函数，当b≠0时为非奇非偶函数顶点对称性图象关于直线x＝－成轴对称图形常用结论1．巧识幂函数的图象和性质2．记牢一元二次不等式恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c<0(a≠

3、0)恒成立的充要条件是二、习题改编1．(必修1P79习题T1改编)已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α＝(　　)A.　　　　　　　　　B．1C.D．2解析：选C.因为f(x)＝k·xα是幂函数，所以k＝1.又f(x)的图象过点，所以＝，所以α＝，所以k＋α＝1＋＝.故选C.2．(必修1P39B组T1改编)函数y＝2x2－6x＋3，x∈[－1，1]，则y的最小值为．解析：函数y＝2x2－6x＋3＝2－的图象的对称轴为直线x＝>1，所以函数y＝2x2－6x＋3在[－1，1]上单调递减，所以ymin＝2－6＋

4、3＝－1.答案：－1一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝2x是幂函数．(　　)(2)当n>0时，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数．(　　)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数．(　　)(4)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　　)(5)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×二、易错纠偏(1)幂函数定义不清晰，导致出错；(2)二次函数的性质理解不到位出错；(3)

5、忽视对二次函数的二次项系数的讨论出错．1．已知幂函数y＝f(x)的图象过点，则此函数的解析式为；在区间上递减．解析：设y＝f(x)＝xα，因为图象过点，代入解析式得α＝－，则y＝x－，由性质可知函数y＝x－在(0，＋∞)上递减．答案：y＝x－　(0，＋∞)2．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，若y＝f(x)在区间[－4，6]上是单调函数，则实数a的取值范围为．解析：由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4，6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4.答案：(－

6、∞，－6]∪[4，＋∞)3．已知函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，则a的取值范围是．解析：因为函数f(x)＝ax2＋x＋5的图象在x轴上方，所以解得a>.答案：　　　　　　幂函数的图象及性质(典例迁移)(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)(2)已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象与x轴、y轴没有交点，且关于y轴对称，则m的所有可能取值为．【解析】　(1)设幂函数的解析式为y＝xα，因为幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以2＝4α，解得α＝

7、，所以y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当0

8、3.【答案】　(1)C　(2)1，3【迁移探究1】　(变条件)若本例(2)中，将函数“f(x)＝xm2－2m－3”变为“f(x)＝(m2＋2m－2)xm2－3m”，其他条件不变，则m的值为．解析：由于f(x)为幂函数，所以m2＋2m－2＝1，解得m＝1或m＝－3，经检验只有m＝1适合题意，所以m＝1.答案：1【迁移探究2】　(变条件)本例(2)中f(x)不变