2009届全国名校真题模拟专题训练12-导数与极限解答题2（数学）.doc

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1、2009届全国名校真题模拟专题训练12导数与极限三、解答题(第二部分)51、已知函数，（1）求函数的最小值；（2）若，求证：．解：（1）=，………………2分当时，，所以当时，，则函数在上单调递增，所以函数的最小值；…………………………5分（2）由（1）知，当时，，∵，∴，①……7分∵，∴②………………………10分由①②得…………………………12分52、(河南省许昌市2008年上期末质量评估)已知函数f(x)＝x2＋2ax，g(x)＝3a2lnx＋b,其中a>0．设两曲线y＝f(x)，y＝g(x)有公共点

2、，且在公共点处的切线相同．(Ⅰ)用a表示b；(Ⅱ)求证：f(x)≥g(x)，(x>0)．53、(黑龙江省哈尔滨九中2008年第三次模拟考试)已知函数在处取得极值，（1）求实数的值；（2）若关于的方程在区间上恰有两个不同的实数根，求实数的取值范围.解：①又…………4分由设即…………12分54、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)已知函数处连续。（1）求实数a的值；（2）解关于x的不等式答案：（1）（2）55、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)设函数（1）如果a=1，求曲线的切线方程；（2）当

3、恒成立，求a的取值范围。答案：（1）（2）a≥656、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)已知a为实数，（1）若在[—4，4]上的最大值和最小值；（2）若上都是递增的，求a的取值范围。解：（1）x(—∞,－1)—1+0—0+增极大减极小增（2）均成立，57、(湖北省八校高2008第二次联考)已知，其中.（Ⅰ）求使在上是减函数的充要条件；（Ⅱ）求在上的最大值；（Ⅲ）解不等式．解：（1）.,时，，即.当时，,即.在上是减函数的充要条件为.………（4分）（2）由（1）知，当时为减函数，的最大值为；当时，

4、，当时，，当时，即在上是增函数，在上是减函数，时取最大值，最大值为，即……（13分）（3）在（1）中取，即,由（1）知在上是减函数.，即，，解得或.故所求不等式的解集为[……………（8分）58、(湖北省三校联合体高2008届2月测试)对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点。如果函数有且仅有两个不动点、，且。（1）试求函数的单调区间；（2）已知各项不为零的数列满足，求证：；（3）设，为数列的前项和，求证：。（1）设∴∴由又∵∴∴……3分于是由得或；由得或故函数的单调递增区间为和，单调减区间为和……4分（

5、2）由已知可得，当时，两式相减得∴或当时，，若，则这与矛盾∴∴……6分于是，待证不等式即为。为此，我们考虑证明不等式令则，再令，由知∴当时，单调递增∴于是即　　　①令，由知∴当时，单调递增∴于是即　　　　②由①、②可知……10分所以，，即……11分（3）由（2）可知则在中令，并将各式相加得即……14分59、(湖北省黄冈市麻城博达学校2008届三月综合测试)若函数（Ⅰ）求函数的单调区间（Ⅱ）若对所有的成立，求实数a的取值范围.解：（1）的定义域为…………12分…………2分①当…………3分②时…………4分…

6、………5分综上：单调递减区间为的单调递增区间（0，+）…………6分（2）…………7分…………8分则…………9分…………10分…………11分…………12分另解：…………7分…………8分单增…………9分①当…………11分②当不成立…………12分综上所述60、(湖北省荆门市2008届上期末)已知函数.（1）求函数在上的最大值、最小值；（2）求证：在区间上，函数的图象在函数的图象的下方；（3）求证：≥N*）.解：（1）∵f¢(x)=∴当xÎ时，f¢(x)>0，　∴在上是增函数故，.……………………4分（2）设，

7、则，∵时，∴，故在上是减函数.又，故在上，，即，∴函数的图象在函数的图象的下方.……………………8分（3）∵x>0，∴，当时，不等式显然成立；当≥时，有≥∴≥N*）61、(湖北省荆门市2008届上期末)设函数相切于点（1，－11）。（1）求a，b的值；（2）讨论函数的单调性。解：（1）求导得………………2分由于相切与点（1，－11），所以………………5分解得………………6分（2）由令所以当是增函数，………………8分当也是增函数；………………10分当是减函数。62、(湖北省荆州市2008届高中毕业班质量检

8、测)设函数⑴求的单调区间；⑵若关于的方程在区间上恰有两个相异实根，求实数的取值范围。解：⑴定义域为，因为所以，当或时，当或时，故的单调递增区间是和的单调递减区间是和(6分)（注：和处写成“闭的”亦可）⑵由得：，令，则或所以≤时，≤时，故在上递减，在上递增（8分）要使在恰有两相异实根，则必须且只需即63、(湖北省随州市2008年高三五月模拟)函数是偶函数。⑴求实数的值；⑵比较的大小；⑶求函数在区间上的最大值。64、(湖北省武汉市武昌区2008