计算机控制系统数学模型介绍.ppt

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1、计算机控制系统数学模型A1、Z变换A2、脉冲传递函数A3、闭环系统的脉冲传递函数A4、采样系统的动态分析A5、采样系统的稳定性A6、采样控制系统的稳态分析A1z变换1z变换2z变换的性质3z反变换4用z变换解线性差分方程1z变换Z变换是用来分析和综合离散时间系统的一种数学工具。它在离散系统中的作用与拉氏变换在连续系统中的作用是类似的。对序列{f(kT)}，可以定义它的z变换为在复平面上的一个适当的区域内，可以保证以上级数是收敛的。这样，F(z)与f(kT)就构成了一变换对。采样函数e*（t）实质就是一个序列。其拉氏变换为：而为s的超越函数，不是有理函数。故令，则在z变换定义中，

2、T是采样周期，若取T=1，则z变换还具有以下简单形式可以用很多方法得到采样函数或序列的z变换，其中最常用的是直接根据定义求z变换的级数求和法。下面介绍几类典型函数的z变换。单位阶跃函数f(t)=1(t)的采样函数故有例1单位阶跃函数1(t)的z变换。单位斜坡函数f(t)=t所对应的序列为f(kT)=kTk=0,1,2,…因此，有例2单位斜坡函数的z变换。例3指数函数的z变换指数函数f(t)=e-at对应的序列f(kT)=e-akTk=0,1,2,……所以2z变换的性质和拉氏变换一样，z变换也有不少重要性质，利用这些性质可以演算或直接分析离散时间系统。一、线性性质对任何常数和，若

3、证明：二、延迟定理（右移定理）若证明：延迟定理应用前提是f(t)必须满足:f(t)=0t<0若上式不满足，则必须考虑这些不为零的值，对延迟定理的结论进行修正三、超前定理（左移定理）若特别地，若所有的初始条件因此，z也可以看成是超前一个采样周期的超前因子。z变换超前定理，可以用来解描述离散系统的差分方程证明：令m=k+n，则四、初值定理若证明：由z变换的定义有五、终值定理若的单位圆上面或外面没有极点，则利用终值定理可以很方便地由F(z)来确定f(kT)当k→∞时的终值。它是离散系统稳态分析的一个重要工具。例4已知因为的极点为0.2，它位于单位圆内，所以有六、复位移定理若证明：例5

4、求由例2，有由复位移定理七、偏微分定理若，其中a是一个独立变量或常数，则有证明例6求的z变换。查表知因为由偏微分定理，得3z反变换Z变换在离散系统的分析与综合中所起的作用与拉氏变换在连续系统中所起的作用几乎完全一致。z反变换即如何由象函数F(z)求得序列f(kt)或采样函数f*(t)。不同的f(t)可以有相同的采样函数f*(t)，从而可以有相同的z变换F(z)。因此，F(z)不可能与f(t)有一一对应关系。由F(z)求得f(kT)或f*(t)的z反变换主要三种方法，即长除法、部分分式展开法和留数计算法。一、长除法采用长除法，可以将F(z)展开成z-1的无穷幂级数的形式。对照z变

5、换的意义，即可立即得到序列f(kT)。例7设F(z)=将F(z)写成z-1表示的形式因此故或例8试求的反变换。先将F(z)写成z-1表示的形式因此由以上可知，用长除法求z反变换十分直观，并且便于用计算机求解，而另一方面虽然长除法给出了序列f(0),f(T),f(2T),…的值，但由之要得到如例7所示的f(kT)的通项表达式却往往较为困难。为此可采用部分分式展开法。二、部分分式展开法通常F(z)是有理函数，它是两个多项式之比。与拉氏反变换的部分分式展开法类似，可以将展开成一系列部分分式之和，然后利用查表法分别求各项的z反变换，根据z变换的线性性质，即可得出f(kT)或f*(t)。

6、设则可设其中a1,a2,a3,…,an为待定系数，将上述方程两边同乘以（z-pi）,并令z=pi,使得方程右边除ai以外各项为零，即可求得例9求的反变换。设所以有查表知由于0.5=e-aT即所以本题结果也可写成采样函数形式例10多重极点情况，求的反变换。F(z)有三个极点，,其中1为二重极点设可以求得即故或4用z变换解线性差分方程差分方程是描述离散时间系统的必不可少的数学工具。差分方程与微分方程两者之间的主要区别在于微分方程描述连续时间函数之间的关系，而差分方程则描述离散时间函数或序列之间的关系。线性常系数差分方程的一般形式为其中，上式差分方程称为n阶线性常系数差分方程。N称为

7、阶次。均为常数。可以利用z变换来解差分方程。对上式两边取z变换，并利用z变换的超前定理，有其中，y(m),m=0,1,…,n-1和u(m),m=0,1,…,n-1为初始条件。将上式左边所有关于y(m)zn-m项合并为(z),将右边所有关于u(m)zn-m项合并为β(z),则上式可重写为设u(k)为已知的输入离散函数，则U(z)已知，并设所有的初始条件均为已知的，即(z),β(z)，由上式即可解出y(k)的z变换Y(z)求Y(z)的反变换即可得序列{y(k)}，它是原差分方程的解。例11已知线