对数函数 典型例题.doc

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1、对数函数例1 求下列函数的定义域（1）y=log2（x2-4x-5）;（2）y=logx+1（16-4x）（3）y=．解：（1）令x2-4x-5＞0，得（x-5）（x+1）＞0，故定义域为 ｛x｜x＜-1，或x＞5｝．（2）令得故所求定义域为｛x｜-1＜x＜0，或0＜x＜2｝．（3）令，得故所求定义域为｛x｜x＜-1-，或-1-＜x＜-3,或x≥2｝．说明 求与对数函数有关的定义域问题，首先要考虑，真数大于零．底数大于零不等于1，若处在分母的位置，还要考虑不能使分母为零．例2 求下列函数的单调区间．（1）y=log2（x-

2、4）；   （2）y=log0．5x2．解：（1）定义域是（4，+∞），设t=x-4,当x＞4时，t随x的增大而增大，而y=log2t，y又随t的增大而增大，∴（4，+∞）是y=log2（x-4）的递增区间．（2）定义域｛x｜x∈R，且x≠0｝，设t=x2，则y=log0．5t当x＞0时，t随x的增大而增大，y随t的增大而减小，∴（0，+∞）是y=log0．5x2的递减区间．当x＜0时，t随x的增大而减小，y随t的增大而减小，∴（-∞，0）是y=log0．5x2的递增区间．例3 比较大小：（1）log0．71．3和log0

3、．71．8．（2）（lgn）1．7和（lgn）2（n＞1）．（3）log23和log53．（4）log35和log64．解：（1）对数函数y=log0．7x在（0，+∞）内是减函数．因为1．3＜1．8，所以log0．71．3＞log0．71．8．（2）把lgn看作指数函数的底，本题归为比较两个指数函数的函数值的大小，故需对底数lgn讨论．若1＞lgn＞0，即1＜n＜10时，y=（lgn）x在R上是减函数，所以（lgn）1．2＞（lgn）2；若lgn＞1，即n＞10时，y=（lgn）2在R上是增函数，所以（lgn）1．7＞（

4、lgn）2．（3）函数y=log2x和y=log5x当x＞1时，y=log2x的图像在y=log5x图像上方．这里x=3，所以log23＞log53．（4）log35和log64的底数和真数都不相同，须找出中间量“搭桥”，再利用对数函数的单调性即可求解．因为log35＞log33=1=log66＞log64，所以log35＞log64．评析 要注意正确利用对数函数的性质，尤其是第（3）小题，可直接利用例2中的说明得到结论．例4 已知函数f（x）=loga（a-ax）（a＞1），（1）求f（x）的定义域、值域．（2）判断并证

5、明其单调性．（3）解不等式f-1（x2-2）＞f（x）．解：（1）要使函数有意义，必须满足a-ax＞0，即ax

6、ga（a-ax）（x∈（-∞，1）），f（x）=f-1（x）．由f-1（x2-2）＞f（x）有f（x2-2）＞f（x）,且f（x）为（-∞，1）上的减函数，所以x2-2＜x,x＜1,解得-1＜x＜1．评析 知道函数值大小关系和函数单调性，要研究自变量取值范围，应直接用单调性得关于x的不等式，但要注意单调区间．例5 已知f（x）=2+log3x，x∈［1，9］，求y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，及y取最大值时，x的值．分析 要求函数y=［f（x）］2+f（x2）的最大值，要做两件事，一是要求其表达式；二是要求出它的定

7、义域，然后求值域．解：∵f（x）=2+log3x，∴y=［f（x）］2+f（x2）=（2+log3x）2+2+log3x2 =（2+log3x）2+2+2log3x =log23x+6log3x+6 =（log3x+3）2-3．∵函数f（x）的定义域为［1，9］，∴要使函数y=［f（x）］2+f（x2）有定义，就须∴1≤x≤3． ∴0≤log3x≤1∴6≤y=（log3x+3）2-3≤13∴当x=3时，函数y=［f（x）］2+f（x2）取最大值13．说明 本例正确求解的关键是：函数y=［f（x）］2+f（x2）定义域的正确

8、确定．如果我们误认为［1，9］是它的定义域．则将求得错误的最大值22．其实我们还能求出函数y=［f（x）］2+f（x2）的值域为［6，13］．例6 （1）已知函数y=log3（x2-4mx+4m2+m+）的定义域为R，求实数m的取值范围；（2）已知函数y=loga［x2+（k+1）x-k+（a＞0，且a