高等数学第二章第1-2节.ppt

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1、第2章一元函数的导数与微分§2.5导数在经济学中的应用§2.1导数的概念§2.2导数的计算§2.3高阶导数§2.4微分1§2.1导数的概念一、瞬时速度问题二、曲线的切线问题三、导数的定义四、左右导数五、导数的几何意义六、可导与连续2设描述质点运动位置的函数为一、瞬时速度问题3二、曲线的切线问题如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.极限位置，即4两个问题的共性瞬时速度切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题加速度，电流强度，线密度等.5三

2、、导数的定义定义1设函数在点存在,并称此极限为记作即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.6(2)导数的其它形式789例110求导的一般步骤例2解所以11例3解12例4解更一般地例如13例5解14例6解15四、左右导数2.右导数1.左导数16例7解17五、导数的几何意义切线方程为法线方程为18例8解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为19六、可导与连续定理2凡可导函数都是连续函数.证20注意21例9解2223即当时,24§2.2导数的计算一、导数的四则运算二、反函数

3、的导数三、复合函数的导数四、基本初等函数的导数公式五、隐函数求导六、对数求导法七、参数方程的求导25一、导数的四则运算定理1下面证明(2)和(3).（1）（2）(3）证明(2)26所以证(3)27所以28两个特别情形(C为常数).例1解.例2解29同理可得因此例3解30同理可得因此例4求函数的导数.解31二、反函数的导数定理2即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.连续函数的性质问题：可导函数的反函数是否为可导函数？在点则它的反函数处也可导，且设函数的某个

4、邻域内单调、连续、可导，且在点32证于是有在点33所以34例6解同理可得所以35同理可得所以36三、复合函数的导数=由两函数相乘的求导法则另一方面所以因此结论复合函数的导数等于其组成的简单函数导数的乘积37即函数对自变量求导,等于函数先对中间变量求导,再乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)定理3证所以由极限与变量的关系可知其中,38即推广39例8解例9解例10解40例114142四、基本初等函数的导数公式43五、隐函数求导定义:隐函数的显化.问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则

5、用复合函数求导法则直接对方程两边求导.44例13解解得45例14解所求切线方程为显然通过原点.46例15所以47六、对数求导法观察函数方法:先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.--------对数求导法适用范围48例16解等式两边取对数得所以49例17设函数，求解先取对数两边关于求导得故50例18设有方程解先取对数两边关于求导得故51七、参数方程的求导例如消去参数问题:消参困难或无法消参如何求导?如52由复合函数及反函数的求导法则得53例19解例20解54所求切线方程为55