关于定积分微元法的几点思考.doc

《关于定积分微元法的几点思考.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。

1、关于定积分微元法的几点思考摘要：微元法是分析和解决数学、物理以及工程问题的常用方法，集合了高等数学知识的精华。用微元法能很好地处理一些几何、物理等实际问题，并将问题转化为定积分表达式来求解，在微元法的使用上，最关键的就是选取微元，能否选择合理的所求量的微元，是关系所求问题的正确性的关键，本文探讨了微元法在几何中的应用，并探讨了如何选择合理的微元，以及利用微元法建立方程和数学模型，对培养学生的抽象思维、逻辑推理、创新能力、分析问题和解决实际问题都有很大的启示和帮助。关键词：微元法;定积分;微分;微分方程;数学

2、模型中图分类号：G642.4文献标志码：A文章编号：1674-9324(2015)21-0166-02在当今世界，教育和科研是兴国安邦的大计，而科研是以教育为基础的，教育的核心则是教学，教学科研、教育改革、全面推行素质教育是新世纪教学模式的重要目标，近几年随着高校招生的不断扩大，使得我国的高等教育受到极大的挑战并面临严峻的考验,在我国现有资源非常有限的情况下，我国的高等教育存在着质量与数量的两难抉择和冲突。一方面要通过扩招来满足实现高等教育普及化的强烈诉求，培养更多的人才来推动国家的经济发展;但同时因扩招而

3、带来的教育资源稀缺、教育质量下滑，所培养的人才难以适应社会经济发展需求又是很紧迫的问题，而其中保证教学质量不滑坡是保证人才培养质量的关键。在党中央政府有关领导和部门的各方努力下，我国高校教学质量只能勉强维持原有水平，显然要想保证教学质量的提升是非常大的难题。在我国现行的高校体制下，高校内部的管理等都有很多不利于提高教学质量的种种因素，比如学校领导“官僚化”，学校学术管理“行政化”，学校管理“去民主化”，这些现象很大程度上损伤了教师教学的积极性。而教学质量作为高校的生命线，是高校生命力发展的重要源泉和保障，如

4、何提高教学质量一直是高校不断探索的课题。高等数学的教学面临越来越多缩减课时的压力，怎么样在现有的大环境下有效保证教学质量是每一个任课教师必须认真思考的问题。高等数学作为本科教育阶段最为重要的基础课程之一，是培养学生数理思考问题的能力、逻辑推断的能力等等的重要基础课程之一。在高等数学的具体教学过程中，我们会根据不同专业的学生，不断的钻研、探索并根据学生的反映，调整教学方法和教学手段，提高高等数学教学的针对性，使得高等数学的教学更加适合不同专业学生的需求与实际,符合社会的发展，为他们后续专业课程的学习以及后续培

5、养打下坚实的理论基础，这也是提高高等数学教学质量的一个重要策略。而微元法是在高等数学中将定积分这一抽象数学概念应用于解决实际问题中的一种重要方法，因此对微元法的教学研究一直受到广泛的关注。所谓微元法就是将研究对象（物体或者某种物理过程）进行无限的细分，再从中抽取出某一微小的部分进行分析研究和讨论，通过研究，找出被研究对象的整体的变化规律的一种方法。微元法是典型的从部分到整体的思维方法，充分体现了数学的微积分思想，很好地利用定积分解决了几何以及物理上的很多问题。在使用微元法处理问题时，我们通常需要将其分解为众

6、多微小的“元过程”，而每个微小的“元过程”都遵循相同的规律或者具有相同的几何性态或者物理规律，这样，我们就仅仅需要分析研究其中一个微小的部分，即一个“元过程”，然后再将“元过程”进行必要的数学方法或者物理思想的处理，从而求得研究的整体问题，即用一个定积分的表达式体现所求的问题。我们知道在几何、物理或者其他学科的研究中很多问题都需要用定积分来表达，而建立这些量的积分表达式的惯用方法就是微元法。换句话说微元法的思想在定积分的应用中占着十分重要的地位，具体怎么样求微元，即如何正确地选取微元是问题的关键，选取的微元

7、是否恰当关系到所求问题的合理性和正确性，但是在问题的求解过程中，具体什么样的微元才是恰当或者说合理的，这个问题在现行的高等数学课本中被省略了。省略的目的就是为了降低教学难度。那么如何选择微元才能保证所选取的微元是合理的呢?尤其是对于初学者来讲这是个难点，这也常常使得学生感到困惑，他们也只能机械套用和模仿书本上所讲的微元，具体表现在“微元法”中，当求解一条光滑曲线的长度时，我们在微小的部分上用切线的长度来近似代替微曲线的长度，在求解曲边梯形的面积时我们在微小部分上采用矩形的面积来近似代替微曲边梯形的面积，在求

8、解旋转体的体积时，我们在微小的部分上采用圆柱体的体积来近似代替微旋转体的体积，等等。这在直观上理解起来也不困难，这也是“微元法的典型的特点”，即在求解问题的过程中，以不变的量代替变化的量，以均匀的过程代替不均匀的过程，用规则的量来代替不规则的量。那么是否直观上近似的量都可以作为所求量的微元呢？这就需要我们仔细分析一下微元法的实质，明白微元法的理论依据是什么。一般来讲，用定积分表达的量应具备以下两个基本特征：第一，