微元法及定积分几何应用

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1、第一节定积分在几何上的应用微元法平面图形的面积立体的体积平面曲线的弧长1一微元法回顾曲边梯形求面积的问题与变速直线运动的路程问题，当所求量具有下列三个特点有关的量；（1）是与一个变量的变化区间（2）对于区间具有可加性，而（3）可以“以匀代不匀”求部分量的近似值个小区间即如果用分点把区间分成相应地分成则个部分量2其中于是得这里含义是是较高阶无穷小.即是的线性主部.一般地,如果某个实际问题具有上述的三个特点,在利用定积分求解时,可以按下述的步骤求解:3这个方法通常叫做微元法或元素法．4应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．5二平面图形的面积1

2、直角坐标系平面图形的面积SS6设上连续函数满足则由曲线与所围的平面图形的面积为2.7事实上(1)平面图形介于直线之间,因此选取作为积分变量,作为积分区间;(2)在上任取一个区间相应于该小区间的平面图形可以近似看成以为高,为底长的长方形,所以得面积的微元素8(3)以作为定积分的被积表示式,在作定积分得同理由上连续曲线与直线所谓的平面图形的面积为9解两曲线的交点面积元素选为积分变量或选为积分变量,10例2求由曲线所围的平面图形的面积解法I解方程组得两曲线的交点为该图形可以看成是由围成的平面图形与所围成的平面图形两个部分构成的,因此取为积分变量,积分区间分别为得11解法II取为积分

3、变量,积分区间为则12解两曲线的交点选为积分变量于是所求面积13例4在曲线上求一点P，使得直线所围成该点的切线与曲线的平面图形的面积最小。解则切线方程为因此设切点为14因此当时，面积最小。所求点为153.如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积16解椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．172极坐标系下平面图形的面积设由曲线及射线围成一曲边扇形，求其面积，这里在上连续.选积分变量积分区间在区间上任取一小区间相应地得到一小的曲边扇形,它可以用半径为中心角为的扇形近似代替,因此18同理,由连续曲线及射线所围的平面图形的面积为19解利用对称性知20解由对称性知总

4、面积=4倍第一象限部分面积21例8求由曲线所围成的平面图形(如图所示阴影部分)的面积.解解方程组得取积分变量积分区间因此22三立体的体积1已知平行截面面积的立体的体积设空间某立体是由一曲面和过且垂直于轴的两平面围成,如果已知该立体上且垂直于个截面面积轴的各求此立体体积.其中为区间上连续函数.取为积分变量，为积分区间，在任取一小区间可以近似地看成以为底，为高的柱体，截下的物体相应所以23设空间某立体是由一曲面和过且垂直于轴的两平面围成,如果已知该立体上且垂直于个截面面积轴的各求此立体体积.其中为区间上连续函数.取为积分变量，为积分区间，在任取一小区间可以近似地看成以为底，为高的

5、柱体，截下的物体相应所以24解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积25解取坐标系如图底圆方程为截面面积立体体积262旋转体体积设空间物体是由连续曲线与直线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周而得的,求此物体的体积.取为积分变量,为积分区间,在上任取一点相应物体的截面是以为半径的圆,因此其面积为所以所求的物体体积为27同理,空间物体是由连续曲线与直及轴围成的平面图形绕轴旋转一周而得的,线此物体的体积为28例11求由曲线直线及轴所围平面图形绕轴旋转一周所得立体的体积.解绕轴旋转取为积分变量,为积分区间,则绕轴旋转取为积分变量,[0,2]为积分区间,相应的截面面积为因此对上任一29例1

6、2求由曲线及在点处的切线和平面图形绕立体的体积.解在点处切线方程为轴围成的轴旋转一周所得30解由对称性得旋转体的体积的参数方程为31例14求由连续曲线直线及轴所围的曲边梯形绕轴旋转一周所得立体体积.解取为积分变量,为积分区间,在上任取小区间相应的曲边梯形可以近似地看成底长为高为的矩形,其绕轴旋转一周所得的旋转体体积为所以32四平面曲线弧长331直角坐标表示的平面曲线的弧长设曲线弧为其中在上有一阶连续导数,取积分变量为在上任取小区间以对应小切线段的长代替小弧段的长度.小切线段的长为弧长元素弧长34解所求弧长为例16解求曲线的全长.解定义域为352参数方程所表示的平面曲线的弧长设

7、曲线弧的参数方程为其中在上具有连续导数,且则所以36解星形线的参数方程为根据对称性第一象限部分的弧长373极坐标方程表示的平面曲线的弧长设曲线弧为其中在上具有连续导数.弧长38解39