微元法及定积分的几何应用

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1、第五章定积分的应用一.定积分的微元法二.定积分在几何上的应用三.定积分在经济分析上的应用第一节定积分的微元法第五章定积分的微元法复习（如图，求曲边梯形的面积）1)大化小.在区间[a,b]中任意插入n–1个分点用直线将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)常代变.在第i个窄曲边梯形上任取作以为底,为高的小矩形,并以此小矩形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得机动目录上页下页返回结束3)近似和.4)取极限.令则曲边梯形面积机动目录上页下页返回结束表示为1、什么问题可以用定积分解决?1)所求量U是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的2)U对区间[a,b]具有可加性,即可通过“大

2、化小,常代变,近似和,取极限”定积分定义一个整体量;微元法2、如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式这种分析方法成为微元法(或元素分析法)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等近似值精确值5.2.2、已知平行截面面积函数的立体体积第二节5.2.1、平面面积的计算定积分在几何上的应用第五章5.2.1、平面图形的面积(1)设曲线与直线及x轴所围曲则边梯形面积为A,若y=f(x)在[a,b]上不都是非负的，则所围成图形的面积为（2）所围成的图形的面积及直线由连续曲线)

3、(,babxax<==)，(),(xgyxfy==)(xf)(xg面积微元（3）(4)如所示图形面积为所围图形的面积.解:例1.求由正弦曲线例2.计算两条抛物线在第一象限所围所围图形的面积.解:由得交点面积微元平面图形的面积类似地例5.2.2.计算抛物线与直线的面积.解:由得交点所围图形为简便计算,选取y作积分变量,则有例5.2.3.求椭圆解:利用对称性,所围图形的面积.有其中因此由定积分的计算，得所以5.2.2、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,特别,当考虑连续曲线段轴旋

4、转一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有例5.2.4.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:利用直角坐标方程则(利用对称性)例5.2.5.计算高为h、底半径为r的正圆锥体的体积。解:如图，建立直角坐标方程则直线方程为机动目录上页下页返回结束任取截面，则体积元素为所以内容小结1.平面图形的面积直角坐标方程2.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积绕x轴:3.经济方面的应用作业P2461（1),(2);(8)5;7；例5.2.6.求由曲线解:作图，所围成的图形分别绕x轴和y轴旋转而成的旋转体的体积。求交点。得交

5、点：且有则绕x轴旋转而成的旋转体的体积则绕y轴旋转而成的旋转体的体积