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1、作者：王幼宁第一章预备知识§3标架和标架场了解空间中的几何对象（包括空间自身）的几何性质以及与其他几何对象之间的关系是几何学和相关自然科学学科乃至相关社会科学学科所共同关心的一类目标．为了达到这种目标，往往需要选择适当的方法、语言3和工具．对于E中的几何对象和几何问题，较为一般化的处理方法之一是利用适当的代数或分析语言（比如向量代数和向量分析）加以描述并根据几何直观的启示进行进一步的严格讨论；这是几何解析化思想的延续．下面所介绍的标架的语言及其与几何对象或物理学对象密不可分的一般联系，不仅适用于本课程或物理学相应分支之中所讨论的对象，而且可以在更为抽象的场合作为直观的背景．3一．E中的单位正
2、交右手标架及其变换3如第一节中所述，在E中Descartes直角坐标系O-xyz下，点A(x,y,z)3的位置向量关于E的单位正交右手基{i,j,k}（也就是坐标轴的单位正向3向量）的分量就是三元有序实数组(x,y,z)．在这个意义下，欧氏空间E33中的点与向量空间R中的向量是一一对应的．换个角度去看，若给定E3中Descartes直角坐标系O-xyz，则确定了E的一个所谓原点O以及一组单位正交右手基向量{i,j,k}．3反之，若给定E的一个点P以及一组单位正交右手基向量{e1,e2,e3},3则以P为原点、以{e1,e2,e3}为坐标轴的单位正向向量组确定了E的一3个右手直角坐标系，记之为
3、{P;e1,e2,e3}，称之为E的一个单位正交3右手标架，并在不容易引起混淆的情况下简称之为E的一个正交标架．3E中允许存在不同的Descartes直角坐标系，这种不同的坐标系之间存在相互的转换，其中坐标变换可以由原点和基向量组之间的变换所确定．需要注意的一个基本事实是：几何属性（或相关的物理属性以及其他学科中的客观属性）可以利用坐标系进行描述，但不依赖于坐标系的选取，其在不同的坐标系之下的表达形式之间应该具有坐标变换所能够确定3的联系．用正交标架的变换可以简明地表示出E中这种坐标变换．3设E的一个单位正交右手标架{P;e1,e2,e3}在{O;i,j,k}之下确定为-1-作者：王幼宁OP
4、=b1i+b2j+b3k；e1=a11i+a12j+a13k；(3.1)e2=a21i+a22j+a23k；e3=a31i+a32j+a33k．则31,i=j，(3.2)∑aikajk=ei∙ej=δij={0,i≠j，k=1a11a12a13(3.3)a21a22a23=(e1,e2,e3)=(e1×e2)∙e3=1．a31a32a33按矩阵写法，视向量为三维行向量，记⎛a11a12a13⎞(3.4)A=⎜a21a22a23⎟，b=(b1,b2,b3)，⎝a31a32a33⎠则e3Q0kQ=Q0*e2⎛i⎞OP=b⎜j⎟,Q*⎝k⎠Pe1(3.5)⎛e1⎞⎛i⎞⎜e2⎟=A⎜j⎟,Oj⎝e
5、3⎠⎝k⎠iTAA=I3,
6、A
7、=1；图1-6其中b是点P在{O;i,j,k}之下的坐标，A是基变换矩阵，I3是3阶单位矩阵．上面算得A是行列式为31的3阶（实）正交矩阵，通常记为A∈SO(3)．反之，对给定的点b∈E和A∈SO(3)，上式确定了新的单位正交右手标架{P;e1,e2,e3}在{O;i,3j,k}之下的表示．用群论的语言来说，E中的单位正交右手标架的基变换3全体构成群SO(3)，从而E中的单位正交右手标架全体可以视为6维空间33E×SO(3)={(b,A)
8、b∈E,A∈SO(3)}；该空间之上的群的行为可以影响到几何属性的描述和刻画，这是一种在更高层次上的“数”与“形”的结合，
9、将留待后续课程之中进行一般化的讨论．读者可以通过本课程之中一些具体的操作来不断深入体会这种结合的价值和前景．正交标架变换确定了点的坐标变换．设点Q在{O;i,j,k}之下的坐标为(x,y,z)，在变换后的标架{P;e1,e2,e3}之下的坐标为(x*,y*,z*)，即-2-作者：王幼宁⎛i⎞(3.6)OQ=xi+yj+zk=(x,y,z)⎜j⎟，⎝k⎠⎛e1⎞⎛i⎞(3.7)PQ=(x*,y*,z*)⎜e2⎟=(x*,y*,z*)A⎜j⎟，⎝e3⎠⎝k⎠则由OQ=OP+PQ即得(3.8)(x,y,z)=b+(x*,y*,z*)A，TT(3.9)(x*,y*,z*)=(x,y,z)A−bA．借
10、用物理学的语言来说，当欧氏空间中的观测者处于不同的观测点时，采用直角坐标系对同一个静止物体的位置进行观测，则所观测出的数据之间的转换规律就是上述坐标变换公式；而观测点之间的差异就体现在正交标架变换规律之中．进一步，观测到的客观位置必须要用观测数据和取得这些数据的观测点来共同表示．反之，从相对运动的角度去观察，在不同的观测点观测同一个静止物体的位置，等价于在同一个静止物体的位置上观测不同的观测点．对于运动着的物
