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1、第二节矩阵的特征值与特征向量分布图示★特征值与特征向量的概念★例1★例2★例3★例4★例5★特征值与特征向量的性质(1)★例6★特征值与特征向量的性质(2)★例7★例8★定理1★例9★例10★例11★内容小结★课堂练习★习题4-2内容要点一、特征值与特征向量定义1设是阶方阵,如果数和维非零向量使成立,则称数为方阵的特征值,非零向量称为的对应于特征值的特征向量（或称为的属于特征值的特征向量）.注：1.阶方阵的特征值，就是使齐次线性方程组有非零解的值,即满足方程的都是矩阵的特征值.称关于的一元次方程为矩阵的特征方程，称的一元次多项式为矩阵的特征多项式.根据上述定
2、义，即可给出特征向量的求法：设为方阵的一个特征值，则由齐次线性方程组可求得非零解，那么就是的对应于特征值的特征向量，且的对应于特征值的特征向量全体是方程组的全体非零解。即设为的基础解系，则的对应于特征值的特征向量全体是不同时.二、特征值与特征向量的性质性质1阶矩阵与它的转置矩阵有相同的特征值.性质2设是阶矩阵，则其中是的全体阶主子式的和.设是的个特征值，则由次代数方程的根与系数的关系知，有(1)(2)其中的全体特征值的和称为矩阵的迹,记为.性质3设是阶矩阵,如果(1)或(2)有一个成立,则矩阵的所有特征值的模小于1,即定理1阶矩阵的互不相等的特征值对应的特征
3、向量线性无关.注：1.属于不同特征值的特征向量是线性无关的;2.属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量3.矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值而言的,一个特征值具有的特征向量不唯一;一个特征向量不能属于不同的特征值.例题选讲例1(E01)求矩阵的特征值和特征向量.解矩阵的特征方程为所以是矩阵的两个不同的特征值.以代入与特征方程对应的齐次线性方程组，得基础解系是故是矩阵对应于的全部特征向量.以代入与特征方程对应的齐次线性方程组，得基础解系是故是矩阵对应于的全部特征向量(见右图).例2(E02)设求A的特征值与特征向量.解特征值当时，
4、解方程由基础解系故对应于的全体特征向量为当时，解方程由得基础解系故对应于的全部特征向量为：(不同时为0).例3(E03)求n阶数量矩阵的特征值与特征向量.解故的特征值为把代入得这个方程组的系数矩阵是零矩阵，所以任意个线性无关的向量都是它的基础解系，取单位向量组作为基础解系，于是，的全部特征向量为(不全为零).例4试求上三角阵A的特征值:解这是一个上三角行列式，因此，因此的特征值等于例5令则不难看出1是的一个特征值，－1是的一个特征值，但1+(-1)不是的特征值，因为的特征值是又的特征值是因此也不是的特征值.例6(E04)试证:n阶矩阵A是奇异矩阵的充分必要条
5、件是A有一个特征值为零.证必要性若是奇异矩阵，则于是即0是的一个特征值.充分性设有一个特征值为0，对应的特征向量为由特征值的定义，有所以齐次线性方程组有非零解由此可知即为奇异矩阵.注:此例也可以叙述为：n阶矩阵A可逆它的任一特征值不为零.例7(E05)设是方阵A的特征值,证明(1)是的特征值;(2)当A可逆时,是的特征值.证因是的特征值，故有使于是(1)所以是的特征值.(2)当A可逆时,由有因知故所以是的特征值.证毕.注：易进一步证明：若是的特征值,则是的特征值，是的特征值，其中特别地,设特征多项式则是的特征值,且例8(E06)设3阶矩阵A的特征值为,求解因
6、的特征值全不为0，知可逆，故而所以把上式记作有故的特征值为于是例9求3阶矩阵的特征值以及相应的线性无关的特征向量组.解的特征多项式为这个多项式的根为因此的特征值等于1，2，2.接下来求特征向量：对将代入得(1)容易算出这个方程组得系数矩阵等于2，因此齐次线性方程组(1)的基础解系只有一个线性无关的向量，不难求出为对将代入可得齐次方程组：求出这个齐次线性方程组的基础解系为(2)因此的相应于特征值1的线性无关的特征向量有1个，而相应于特征值2的线性无关的特征向量有2个，于是的线性无关的特征向量有3个，正好等于的阶数3.例10(E07)设和是矩阵A的两个不同的特征
7、值,对应的特征向量依次为和,证明不是A的特征向量.证按题设，有故用反证法，设是的特征向量，则应存在数使于是即因由本节定理知线性无关，故由上式得即与题设矛盾.因此不是的特征向量.例11(E08)正交矩阵的实特征值的绝对值为1.证设为正交矩阵，是方阵的对应于特征值的特征向量，则因(1)(2)又所以式(1)-式(2)得即注:①的特征值是特征方程的根，也是的根.②的对应特征值的特征向量是齐次方程组的非零解，也是的非零解.在教科书中,上述两种表示法均可使用.课堂练习1.求矩阵的特征值和特征向量.2.求矩阵的特征值与特征向量.
