自动控制原理 教学课件 作者 孙优贤 王慧 主编第三章-4-状态方程的解.ppt

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1、自动控制理论浙江大学控制科学与工程学系第三章微分方程的解12第三章要点绪论稳态响应暂态响应时间常数定义例：二阶系统系统的暂态（动态）时间响应性能指标状态方程的解状态方程的全解求解微分方程状态方程状态转移矩阵（Statetransitionmatrix,STM）计算状态转移矩阵状态方程的全解从状态空间模型到传递函数（矩阵）4状态方程输出方程状态空间模型状态空间模型图状态变量x(t),u(t),和y(t)是列向量，A,B,C和D是矩阵，对于线性时不变系统而言，这些矩阵的元素都是常数。系统具有m个输入，l个输出和n个状态变量。为了得到系统输

2、出y(t)，我们首先要求解状态方程。Sx1,x2,…,xnu1u2umy1y2yl图3.11系统的一般表示状态方程5状态方程微分方程是输入输出模型，它仅仅表示了输入变量与输出变量之间的关系。-----经典控制理论模型状态空间模型可以描述系统的内部变量，能够描述多变量系统和非线性系统，并易于计算机实现。-----现代控制理论模型状态变量分析方法的特点是将一个复杂系统分解为一组更小的系统，通过标准化处理使这些小系统之间的相互影响最小，从而可以进行分别求解。6状态转移矩阵如果n=1且初始条件为x(t=0)=x(0)，则状态方程为标量方程

3、，表示了一个一阶系统。我们可以很容易地求得标量方程的解状态方程的解是两部分之和，其中一部分是相应齐次方程的解，也就是解的暂态分量。首先考虑齐次状态方程，即输入变量u(t)=0假定初始时刻为t0，对于任意初始条件x(t0)，如果x(t0)已知，则有7状态转移矩阵比较通过不同方式求得的解，它们应该相等。于是有，求解S域内的解，有LT考察标量方程的解其中，[请复习幂级数ex的展开(-

4、实际上，exp[At]是无穷级数，且该无穷级数收敛，具有闭合形式。对于线性定常系统，exp[At]称为系统的状态转移矩阵(statetransitionmatrix,STM)，可记为n=nn=1于是状态转移矩阵8…9作为函数，具有如下性质：线性时不变系统注意：两者在概念上有区别。Matrixexponent（矩阵指数）：数学函数STM：具有相应的物理意义，且适用于时变系统和离散系统1)如果A是对角阵，则exp[At]也是对角阵2)3)如果t和p是相互独立的变量，则有状态转移矩阵105)总是非奇异矩阵，其逆矩阵为4)6)对于nn方阵A

5、和B，如果有AB=BA，则7)对于任意非奇异矩阵T，有性质1)、2)、4)、6)、7)可以由的定义直接证明。状态转移矩阵11状态转移矩阵性质3)证明：令p=-t，利用性质3)可得性质5)证明：12STM(—状态转移矩阵)刻画了系统的非强迫响应或自然响应，它具有如下性质：状态转移矩阵13状态转移矩阵的计算1)方法1-----直接计算4)方法4-----Cayley-Hamilton定理对于给定的矩阵A，计算STM闭合形式的方法包括：2)方法2-----利用拉普拉斯变换3)方法3-----矩阵A对角化14状态转移矩阵的计算：1)直接计算解

6、：例1.假定A矩阵为，利用方法1求解exp(At)及及15状态转移矩阵的计算：2)拉普拉斯变换解：结果与例1的结果一致例2.假定A矩阵为,利用方法2求解exp(At)16例3.假定A矩阵为，利用方法2求解exp(At)解：状态转移矩阵的计算：2)拉普拉斯变换17状态转移矩阵的计算：3)矩阵对角化对于非对角矩阵A，我们可以首先将其对角化，即计算用于对角化A的模态矩阵T，于是有有四种矩阵对角化方法18方法1对于友矩阵A(A=AC)，当矩阵具有不同的特征值i时，可以很容易地求得T（称为Vandermonde矩阵，即范德蒙矩阵）状态转移矩阵

7、的计算：3)矩阵对角化19特征向量vi可正比于adj[iI-A]的任意非零列方法2如果矩A不是友矩阵，则可以将模态矩阵T定义为，于是有状态转移矩阵的计算：3)矩阵对角化20方法3对于每个特征向量vi，计算其n个元素，从下面的矩阵方程形成一组（n个）方程将i的各个值代入上述矩阵，令相应元素相等就构成了n个方程状态转移矩阵的计算：3)矩阵对角化21例4.假定A矩阵为，利用方法2求解exp(At)解：我们可以求得矩阵A的特征值为：由于A不是对角阵，因此需要计算模态矩阵来对矩阵A进行对角化在此例中，A不是友矩阵，因此需要计算模态矩阵T，这

8、里利用方法2进行计算结果与例3的结果一致状态转移矩阵的计算：3)矩阵对角化22回顾：特征值特征方程的根i称为矩阵A的特征值考虑系统方程为特征方程为多项式Q()可以写成因式形式矩阵A的特征值之积等于该矩阵的行列式，即2