理学概率第四章ppt课件.ppt

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1、第四章随机变量的数字特征概率论与数理统计随机变量的分布函数能够完整地描述随机动目录上页下页返回结束但要确定随机变量的分在许多实际问题中，数学期望、方差、知道它的若干重要特征：机变量的统计规律.布函数绝非易事，只需要相关系数等。1第一节一、离散型随机变量的数学期望二、连续型随机变量的数学期望四、数学期望的性质随机变量的数学期望及其性质第四章随机变量的数字特征机动目录上页下页返回结束三、随机变量函数的数学期望2本节的教学要求理解随机变量数学期望的概念及性质掌握常用分布的数学期望会求随机变量函数的数学期望重点随机变量的数学期望及

2、其性质机动目录上页下页返回结束3一、离散型随机变量的数学期望引例某车间对工人的生产情况进行考察.我们先观察小张100天的生产情况随机变量的数学期望及其性质小张每天生产的废品数X是一个随机变量.义X的平均值呢？车工如何定4若统计100天,32天没有出废品;30天每天出一件废品;17天每天出两件废品;21天每天出三件废品;可以得到这100天中每天的平均废品数为这个数能否作为X的平均值呢？（假定小张每天至多出现三件废品）随机变量的数学期望及其性质5可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品、出一件、二件、三件废品的天数与前面

3、的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.n0天没有出废品;n1天每天出一件废品;n2天每天出两件废品;n3天每天出三件废品.可以得到n天中每天的平均废品数为(假定小张每天至多出三件废品)一般来说,若统计n天,随机变量的数学期望及其性质6这是以频率为权的加权平均当N很大时，频率接近于概率，所以在求废品数X的平均值时，用概率代替频率，得平均值为这是以概率为权的加权平均这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X的平均值.随机变量的数学期望及其性质7定义1设随机变量X，它的分布律是:P

4、{X=xi}=pi,i=1,2,…注意:离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和.数学期望简称期望,又称为均值。若级数绝对收敛，则称级数即的和为随机变量X的数学期望，记为,随机变量的数学期望及其性质8例101200.20.80120.60.30.1问应如何评定甲、乙两人技术的优劣？即甲的射击技术比乙好。随机变量的数学期望及其性质9例2随机变量的数学期望及其性质10二、连续型随机变量的数学期望设X是连续型随机变量，其密度函数为f(x),小区间[xi,xi+1)阴影面积近似为随机变量的数学期望及其性质在数轴上取很密的分

5、点x0

6、求出来.一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把E[g(X)]计算出来.随机变量的数学期望及其性质14那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的.使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的.随机变量的数学期望及其性质15(1)当X为离散型时,它的分布律为P(X=xi)=pi;(2)当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若定理设Y是随机变量X的函数:Y=g(X)(g是连续函数)随机变量的数学期望及其性质若绝对收敛，则有绝对收敛，则有

7、16知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.随机变量的数学期望及其性质该公式的重要性在于:当我们求E[g(X)]时,求随机变量函数的期望带来很大方便.不必这17上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。随机变量的数学期望及其性质18随机变量的数学期望及其性质（2）若是二维离散型，概率分布为，则有19例4已知随机变量的分布列为.求（1）解由定理1得（1）（2）.；（2）的数学期望。随机变量的数学期望及其性质20.例11设.例5设的概率密度为求，。解由定理2得随机变量的数学期望及其性质21.随机变量的数学

8、期望及其性质例11设.例6设的概率密度为求，。解由定理2得22四、数学期望的性质1.设C是常数，则EC=C;4.设X、Y相互独立，则E(XY)=EXEY;2.若C是常数，则E(CX)=CEX;3.E(X+Y)=EX+EY;（诸Xi相互独立时）请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y独立随