高考数学一轮复习课后限时集训59圆锥曲线中的范围、最值问题理北师大版.docx

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1、课后限时集训59圆锥曲线中的范围、最值问题建议用时：45分钟1．在平面直角坐标系中，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2.以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左、右焦点的椭圆E恰好经过点.(1)求椭圆E的方程；(2)设经过点(－2,0)的直线l与椭圆E交于M，N两点，求△F2MN面积的最大值．[解]　(1)由已知可得，椭圆E的焦点在x轴上，设椭圆E的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则b＝c，∴a2＝b2＋c2＝2b2，∴椭圆E的方程为＋＝1.又椭圆E过点，∴＋＝1，解得b2＝1.∴椭圆E的方程为＋

2、y2＝1.(2)∵点(－2,0)在椭圆E外，∴直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝k(x＋2)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y得，(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－2＝0.由Δ＞0，得0

3、MN

4、＝

5、x1－x2

6、＝2·.∵点F2(1,0)到直线l的距离d＝，∴△F2MN的面积S＝

7、MN

8、·d＝3.令1＋2k2＝t，则t∈(1,2)，∴S＝3＝3＝3＝3，当＝，即t＝时，S有最大值，Smax＝，此时k＝±.∴当直线l的斜率为±时，可使△F2MN的面积最大，其最大

9、值为.2.如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y).过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求

10、PA

11、·

12、PQ

13、的最大值．[解]　(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，因为－

14、PA

15、＝＝(k＋1)，

16、PQ

17、＝(xQ－x)＝－，所以

18、PA

19、·

20、PQ

21、＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所

22、以f(k)在区间上单调递增，上单调递减，因此当k＝时，

23、PA

24、·

25、PQ

26、取得最大值.3.已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与直线ax＋2by－ab＝0相切．(1)求椭圆C的离心率；(2)如图，过F1作直线l与椭圆分别交于P，Q两点，若△PQF2的周长为4，求·的最大值．[解]　(1)由题意知＝c，即3a2b2＝c2(a2＋4b2)＝(a2－b2)(a2＋4b2)．化简得a2＝2b2，所以e＝＝.(2)因为△PQF2的周长为4，所以4a＝4，得a＝，由(1)知b2＝1，所以

27、椭圆C的方程为＋y2＝1，且焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线方程为x＝－1，P，Q，＝，＝，故·＝.②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，由消去y并整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝，·＝(x1－1，y1)·(x2－1，y2)＝(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(k2＋1)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝(k2＋1)＋(k2－1)＋k2＋1＝＝－，由k

28、2＞0可得·∈.综上所述，·∈，所以·的最大值是.