高考数学一轮复习课后限时集训55圆锥曲线中的范围、最值问题文北师大版.docx

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1、课后限时集训55圆锥曲线中的范围、最值问题建议用时：45分钟1．(2019·开封模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的点到右焦点F(c,0)的最大距离是＋1，且1，a,4c成等比数列．(1)求椭圆的方程；(2)过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M(m,0)，求实数m的取值范围．[解](1)由已知可得解得所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)由题意得F(1,0)，设直线AB的方程为y＝k(x－1)．与椭圆方程联立得消去y可得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x

2、1＋x2)－2k＝.可得线段AB的中点为N.当k＝0时，直线MN为y轴，此时m＝0.当k≠0时，直线MN的方程为y＋＝－，化简得ky＋x－＝0.令y＝0，得m＝.所以m＝＝∈.综上所述，m的取值范围为.2．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．(1)若＝2，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．[解](1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y2－4my－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y

3、1y2＝－4.①因为＝2，所以y1＝－2y2.②联立①和②，消去y1，y2，得m＝±.所以直线AB的斜率是±2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.因为2S△AOB＝2··

4、OF

5、·

6、y1－y2

7、＝＝4，所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.3．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左焦点为F1，点A是椭圆C上位于x轴上方的一个动点，当直线AF1的斜率为1时，

8、AF1

9、＝.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线AF1与椭圆C的另外一个交点为B，点A关于x轴的对称点为

10、A′，求△F1A′B面积的最大值．[解](1)∵e＝＝，∴a2＝2c2.又a2＝b2＋c2，∴b＝c.∴当直线AF1的斜率为1时，直线AF1通过椭圆的上顶点，∴a＝

11、AF1

12、＝.又a2＝2c2，b＝c，∴b＝1，椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)∵A在x轴上方，∴直线AB的斜率不为0.设直线AB的方程为x＝my－1.∵F1，A′，B三点能构成三角形，∴直线AB不垂直于x轴，∴m≠0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′的坐标为(x1，－y1)．联立消去x得(my－1)2＋2y2＝2，即(2＋m2)y2－2my－1＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－.如图，S△F1A′B＝S△

13、BAA′－S△F1AA′＝

14、AA′

15、

16、x2－xF1

17、＝y1

18、x2＋1

19、＝y1

20、my2

21、＝

22、my1y2

23、＝＝≤＝，当且仅当＝

24、m

25、，即

26、m

27、＝时取等号．∴△F1A′B面积的最大值为.