2020版高考数学一轮复习课后限时集训48范围最值问题含解析理2.pdf

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1、课后限时集训(四十八)(建议用时：60分钟)A组基础达标1.(2019·泉州模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：x2＝2py(p＞0)的焦点为F，3点A在C上，若

2、AO

3、＝

4、AF

5、＝.2(1)求C的方程；(2)设直线l与C交于P，Q，若线段PQ的中点的纵坐标为1，求△OPQ的面积的最大值．3[解](1)∵点A在抛物线C上，

6、AO

7、＝

8、AF

9、＝，2pp3∴＋＝，∴p＝2，422∴C的方程为x2＝4y.(2)设直线方程为y＝kx＋b，代入抛物线方程，可得x2－4kx－4b＝0，设P(x，y)，Q(x，y)，则x＋x＝4k，∴y＋y＝4k2＋2b，

10、11221212∵线段PQ的中点的纵坐标为1，∴2k2＋b＝1，1△OPQ的面积S＝·b·16k2＋16b＝b2＋2b＝2·b3＋b2(0＜b≤1)，2设y＝b3＋b2，y′＝3b2＋2b＞0，故函数单调递增，∴b＝1时，△OPQ的面积的最大值为2.2．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．→→(1)若AF＝2FB，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．[解](1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，

11、消去x得y2－4my－4＝0.设A(x，y)，B(x，y)，1122所以y＋y＝4m，yy＝－4.①1212→→因为AF＝2FB，所以y＝－2y.②122联立①和②，消去y，y，得m＝±.124所以直线AB的斜率是±22.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S.△AOB1因为2S＝2··

12、OF

13、·

14、y－y

15、＝y＋y2－4yy＝41＋m2，△AOB2121212所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.x2y2313．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆

16、C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，且点3，a2b222在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；x2y2(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于4a24b2A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.

17、OQ

18、①求的值；

19、OP

20、②求△ABQ面积的最大值．31[解](1)由题意知＋＝1，a24b2a2－b23又＝，解得a2＝4，b2＝1.a2x2所以椭圆C的方程为＋y2＝1.4x2y2(2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1.164

21、OQ

22、①设P(x，y)，＝λ，00

23、OP

24、由题意知Q(－λx－λy)．00x2因为0＋y2

25、＝1，40－λx2－λy2λ2x2又0＋0＝1，即0＋y2＝1，164440

26、OQ

27、所以λ＝2，即＝2.

28、OP

29、②设A(x，y)，B(x，y)．1122将y＝kx＋m代入椭圆E的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0，由Δ＞0，可得m2＜4＋16k2.①8km4m2－16则有x＋x＝－，xx＝.121＋4k2121＋4k2416k2＋4－m2所以

30、x－x

31、＝.121＋4k2因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)，1所以△OAB的面积S＝

32、m

33、

34、x－x

35、212216k2＋4－m2

36、m

37、＝1＋4k22k2＋4－m

38、2m2＝1＋4k2m2m2＝24－.1＋4k21＋4k2m2设＝t.1＋4k2将y＝kx＋m代入椭圆C的方程，可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.②由①②可知0＜t≤1，因此S＝2－tt＝2－t2＋4t.故S≤23，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值23.由①知，△ABQ面积为3S，所以△ABQ面积的最大值为63.B组能力提升y2x21．(2019·南昌市调研测试卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为4，且过点(2，a2b2－2)．(1)求椭圆C的方程；→→(2)过椭圆焦点

39、的直线l与椭圆C分别交于点E，F，求OE·OF的取值范围．y2x2[解](1)椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0,2)，a2b22a＝2＋0＋2＋＋2＝42，所以a＝22，b＝2，y2x2即椭圆C的方程是＋＝1.84→→(2)若直线l垂直于x轴，则点E(0,22)，F(0，－22)，OE·OF＝－8.若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋2，点E(x，y)，F(x，y)，1122将直线l的方程代入椭圆C的方程得到(2＋k2)x2＋4kx－4＝0，－4k－4则x＋x＝，xx＝，122＋k2122＋k2→→所

40、以OE·OF＝xx＋yy＝(1＋k2)xx＋2k(x＋x)＋412121212－4－4k2－8k220＝＋＋4＝－8，2＋