2020版高考数学一轮复习课后限时集训49定点定值探索性问题含解析理2.pdf

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1、课后限时集训(四十九)(建议用时：60分钟)A组基础达标x2y21．(2019·湖北部分学校联考)已知椭圆D：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，A为短轴a2b2的一个端点，且

2、OA

3、＝

4、OF

5、，△AOF的面积为1(其中O为坐标原点)．(1)求椭圆D的标准方程；(2)过椭圆D长轴左端点C作直线l与直线x＝2交于点M，直线l与椭圆D的另一交点→→为P，证明：OM·OP为定值．[解](1)因为

6、OA

7、＝

8、OF

9、，所以b＝c，1而△AOF的面积为1，所以bc＝1，解得b＝c＝2，所以a2＝b2＋c2＝4，2x2y2所以椭圆D的标准方程为＋＝1.42(2)由题意

10、可知直线MC的斜率存在，设其方程为y＝k(x＋2)，x2y2代入＋＝1，得(1＋2k2)x2＋8k2x＋8k2－4＝0，424k2－24k所以P－，.又M(2,4k)，2k2＋12k2＋1→→4k2－24k所以OM·OP＝(2,4k)·－，＝4，为定值．2k2＋12k2＋12．(2019·东北三校联合模拟)已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求E的方程；→→(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且OA·OB＝－16，求证：直线AB恒过定点

11、．[解](1)设P(x，y)，则x2＋y－2＝(y＋1)＋1⇒x2＝8y.所以E的方程为x2＝8y.(2)证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋b，A(x，y)，B(x，y)．1122将直线AB的方程代入x2＝8y中，得x2－8kx－8b＝0，所以x＋x＝8k，xx＝－8b.1212→→x2x2OA·OB＝xx＋yy＝xx＋12＝－8b＋b2＝－16⇒b＝4，12121264所以直线AB恒过定点(0,4)．x2y233．(2019·湖南五市十校联考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，过左焦点Fa2b2532且垂直于长轴的弦长为.

12、5(1)求椭圆C的标准方程；4(2)点P(m,0)为椭圆C的长轴上的一个动点，过点P且斜率为的直线l交椭圆C于A，B5两点，证明：

13、PA

14、2＋

15、PB

16、2为定值．c3e＝＝，a5a＝5，[解](1)由2b232可得b＝4，a＝5，c＝3，a2＝b2＋c2，x2y2故椭圆C的标准方程为＋＝1.25165x2y2(2)证明：设直线l的方程为x＝y＋m，代入＋＝1，42516消去x，并整理得25y2＋20my＋8(m2－25)＝0.4m2－设A(x，y)，B(x，y)，则y＋y＝－m，yy＝，1122125122541又

17、PA

18、2＝(x－m

19、)2＋y2＝y2，11161414141同理可得

20、PB

21、2＝y2.则

22、PA

23、2＋

24、PB

25、2＝(y2＋y2)＝[(y＋y)2－2yy]1621612161212414mm2－＝－2－＝41.16525所以

26、PA

27、2＋

28、PB

29、2是定值．B组能力提升x2y231．(2019·邢台模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为25，离心率为，圆a2b22E的圆心在椭圆C上，半径为2，直线y＝kx与直线y＝kx为圆E的两条切线．12(1)求椭圆C的标准方程；(2)试问：k·k是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．12c3c2

30、3[解](1)由2b＝25得b＝5，∵e＝＝，∴＝，a2a24a2－53∵a2＝b2＋c2，∴＝，解得a2＝20，b2＝5，a24x2y2∴椭圆C的标准方程为＋＝1.205(2)设E(x，y)，∵直线y＝kx与圆E：(x－x)2＋(y－y)2＝4相切，00100

31、kx－y

32、∴100＝2，整理得(x2－4)k2－2xyk＋y2－4＝0，010010k2＋11同理可得(x2－4)k2－2xyk＋y2－4＝0，020020y2－4∴k，k为方程(x2－4)x2－2xyx＋y2－4＝0的两个根，∴kk＝0.12000012x2－40x2y2x2又∵E(x，

33、y)在椭圆C：＋＝1上，∴y2＝51－0，00205020x251－0－4y2－4201∴kk＝0＝＝－，12x2－4x2－44001故kk的定值为－.124x2y222．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，短轴长为22.a2b22(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论．[解](1)由短轴长为22，得b＝2，ca2－b22由e＝＝＝，aa2得

34、a2＝4，b2＝2.x2y2所以椭圆C的标准方程为＋＝1.42(2)以MN为直径的圆过定点F(