现代控制理论基础 教学课件 作者 李先允 第4章 线性系统的能控性和能观测性.ppt

《现代控制理论基础 教学课件 作者 李先允 第4章 线性系统的能控性和能观测性.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第4章线性系统的能控性和能观测性4.1引言4.2线性连续系统的能控性4.3线性连续系统的能观测性4.4线性定常离散系统的能控性和能观测性4.5能控标准形和能观测标准形4.6系统能控性和能观测性的对偶原理4.7线性系统的结构性分解4.8能控性和能观测性与传递函数（阵）的关系4.9系统的实现问题4.10MATLAB在能控性和能观测性分析中的应用4.1引言线性系统的能控性(controllability)加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任一初始状态转移到希望的状态上，即系统是否具有通过控制作用随意支配状态的能力。线性系统的能观测性(observability)通过在一段时间内

2、对系统输出的观测，能否判断系统的初始状态，即系统是否具有通过观测系统输出来估计状态的能力。4.2线性连续系统的能控性状态能控性反映输入对状态的控制能力。如果状态变量由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入(控制项)来影响，并能在有限时间内控制到空间原点，那么称系统是能控的，或者更确切地说，是状态能控的。否则，就称系统为不完全能控的。【例4－1】某电桥系统的模型如图4-1所示。该电桥系统中，电源电压为输入变量，并选择两电容器两端的电压为状态变量和。试分析电源电压对两个状态变量的控制能力。解：由电路理论知识可知，若图4-1所示的电桥系统是平衡的(例)，电容的电压是不能通过输入电压改

3、变的，即状态变量是不能控的，则系统是不完全能控的。若图4-1所示的电桥系统是不平衡的，两电容的电压和可以通过输入电压控制，则系统是能控的。由状态空间模型来看，当选择两电容器两端电压为状态变量和时，可得如下状态方程：由上述状态方程可知，状态变量的值，即电桥中电容的电压，是自由衰减的，并不受输入的控制。因此，该电压的值不能在有限时间内衰减至零，即该状态变量是不能由输入变量控制到原点。具有这种特性的系统称为状态不能控的。4.2.2状态能控性的定义考虑线性时变系统的状态方程其中，为维状态向量，为维输入向量，为时间定义区间，分别为和的元为的连续函数的矩阵。能控性定义1．状态能控对线性时变系统，如

4、果对取定初始时刻的一个非零初始状态，存在一个时刻，，和一个无约束的的容许控制，，使状态由转移到时，则称此在时刻是能控的。能控性定义2．系统能控对线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态都是在时刻为能控的，则称系统在时刻是状态完全能控的，能控。如果系统对于任意的均是状态完全能控的（即系统的能控性与初始时刻的选取无关），则称系统是一致能控的。简称系统在时刻能控性定义3．系统不完全能控取定初始时刻，如果状态空间中存在是不能控的，则称是不完全能控的，简称系统不能控。一个或一些非零状态在时刻系统在时刻能控性定义若存在能将状态转移到的控制作用，则称状态是时刻能达的。若对所有时刻都是能达的，则称状

5、态为完全能达或一致能达。能达的，时刻状态能达的，简称系统是时刻能达的。若系统对于状态空间中的每一个状态都是时刻则称系统是4．状态与系统能达定义的几点解释（1）对轨迹不加限制，是表征系统状态运动的一种定性特性；（2）容许控制的分量幅值不加限制，且在（3）线性系统的能控性与（4）如果将上面非零状态转移到零状态，改为零状态到非上平方可积；无关；零状态，则称为系统的能达性。（5）系统不完全能控为一种“奇异”情况。4.2.3线性定常连续系统的状态能控性判别一、格拉姆矩阵判据线性定常连续系统状态完全能控的充分必要条件是存在时刻，使如下定义的格拉姆矩阵为非奇异。二、秩判据设线性定常连续系统的状态方程

6、为式中，x为n维状态向量，u为r维输入向量，A，B分别为、常数阵。满秩，即系统状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵【例4－1】试判断如下系统的状态能控性解：由状态能控性的代数判据有故它是一个三角形矩阵，斜对角线元素均为1，不论取何值，其秩为3，故系统状态完全能控。【例】电路如图所示。其中，u为输入，i为输出，流经电感的电流和电容上的电压为状态变量，分析系统的能控性。解：令整理以上三式得向量－矩阵形式的系统状态空间表达式为当满足时，满秩，系统能控，否则不能控。三、约当标准形判据对为约当标准形的线性定常连续系统1．若A为每个特征值都只有一个约当块的约当矩阵,则系统能控的充要条件为：对

7、应A的每个约当块的B的分块的最后一行都不全为零;2．若A为某个特征值有多于一个约当块的约当矩阵,则系统,有：能控的充要条件为：对应A的每个特征值的所有约当块的B的分块的最后一行线性无关。【例4－5】下列系统是状态能控的：下列系统是状态不能控的：四、PBH判据线性定常连续系统系统为完全能控的充要条件是，对矩阵的所有特征值均成立，或等价地也即和是左互质的。表4-1能控性判据对比表，判据判定方法特点格拉姆矩阵判据的各行函数线性独立需要求矩阵指数函数并