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1、第1章行列式1.1二阶与三阶行列式1.2逆序与对换1.4行列式的性质1.3阶行列式的定义1.5行列式按行（列）展开1.6克莱姆法则1.1二阶与三阶行列式对于二元一次方程组1.1.1二阶行列式定义二阶行列式则当时上述二元一次方程组有唯一解,并且通过带入消元法方程组的解为即可用二阶行列式表示为例1解二元一次方程组解：1.1.2三阶行列式定义三阶行列式为:则三元一次方程组当时方程组的解可用三阶行列式表示为例2计算行列式解:1.2逆序与对换1.2.1排列与逆序自然数组成的有序数组称为一个元排列,记为规定按从小到大的顺序排列的叫做标准排列（自然排
2、列）.即排列为标准排列.定义1在一个排列中,如果一对数的前后位置与大小顺序相反,即前面的数大于后面的数,那么它们就称为一个逆序,一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.排列.的逆序数记为.计算排列逆序数的方法:对于排列,其逆序数为每个元素的逆序数之和.即对于排列中元素，如果比大且排在前面的元素有个，就说的逆序数为,全体元素的逆序数之和为即例3求排列,的逆序数.解:在排列,中定义2逆序数为偶数的排列称为偶排列,逆序数为奇数的排列称为奇排列.1.2.2对换定义3把一个排列中某两个数的位置互换而其余的数不动就得到另一个排列,这样一个变换称
3、为一个对换.对换改变排列的奇偶性.将一个奇排列变成标准排列需要奇数次对换,将一个偶排列变成标准排列需要偶数次对换.,是偶排列；,是奇排列.1.3阶行列式的定义定义4由个数组成数表从中选取处在不同行不同列的个元素相乘,其中为的一个全排列,并冠以符号,则称和为阶行列式,记作或简记为,其中表示处在第行,第列位置的元素.例4计算行列式其中未写出部分全为零.解：在行列式的展开式中共有个乘积,显然如果则必为零,从而这个项也必为零,因此只须考虑的项.同理只须考虑,也即行列式的展开式中只有(其他的项乘积均为零),而因而其符号为正.因此定义5对角线以上（
4、下）的元素全为零的行列式称为下（上）三角行列式.由例4还可得出关于上、下三角行列式的如下结论:例5计算行列式解:在行列式的展开式中共有个乘积显然如果则必为零,从而这个项也必为零,因此只须考虑的项.同理只须考虑,也即行列式的展开式中只有(其他的项乘积均为零),而，因此由例5还可得出下三角行列式的如下结论：因而其符号为以上各种形式是计算行列式的常用形式,应该对这几种形式加以注意并加强对它们的理解和应用.行列式的计算是一个重要的问题,也是一个很麻烦的问题.对于阶行列式,当很大时直接从行列式的定义进行行列式的计算几乎是不可能的.为此有必要对行列
5、式的性质进行研究,从而简化行列式的计算.记为行列式的转置行列式.1.4行列式的性质称行列式性质1行列式与其转置行列式相等,即性质2互换行列式的两行(列)元素,则行列式变号.推论1若行列式中某两行元素对应相等,则行列式的值为零.性质3行列式某行元素都乘以数等于用乘以行列式,即推论2由性质3知若行列式中某行(列)元素含有公因数可以将数提到行列式外.,则推论3若行列式的某两行(列)元素对应成比例,则此行列式的性质4若行列式的某一行(列)是两组数之和,则这个行列式可值为零.以写成两个行列式的和,即此性质可以推广到某一行元素为多组数之和的形式.倍
6、加到另外一行(列)的对应元素上去,行列式的值不变.即性质5把行列式中某行(列)元素的的值,其中解:例6计算行列式例7计算行列式的值,其中解法一:分别将行列式的第二行、第三行、第四行加到第一行得例8计算行列式的值,其中解法二:利用行列式的性质将行列式的第一行和第四行互换可得的值,其中解:例9计算行列式加到后一列上去得再将第三列乘以加到第四列上去，第二列乘以第三列上去得性质可得.解:把前一列乘以加到由于此时行列式的第三列和第四列相等，因此由行列式的定义6在阶行列式中划去元素所在的第行和第列的元素,剩下的阶的行列式,称为元素的余子式,.对冠以
7、符号后称为元素的代数余子式,记为,即1.5.1余子式与代数余子式1.5行列式按行（列）展开个元素按原来的排法构成一个记作引理设是一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这个行列式的值等于乘以它的代数，即余子式积之和,即这个定理称为行列式按行(列)展开法则．1.5.2行列式按行（列）展开定理1行列式的值等于其某行（列）元素与其代数余子式乘例10算行列式的值,其中解：例11计算行列式的值，其中解：为求的值.解:为行列式按第二行的展开式,因此的值等于行列式例12设行列式而因此:推论阶行列式的的任意一行(列)的各元素与另一行(列)对应
8、元素的代数余子式乘积之和等于零,即或或作为定理1的推论,我们有：例13：设多项式.试求的根.解法一：解得的解为：解法二：由性质2推论3知，当时，，故为的根。为由于的4次多项式，因此，只有4个根。现在我们来应
