线性代数教材.pdf

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1、第一章n阶行列式在初等数学中讨论过二阶、三阶行列式，并且利用它们来解二元、三元线性方程组.为了研究n元线性方程组，需要把行列式推广到n阶，即讨论n阶行列式的问题.为此，下面先介绍全排列等知识，然后引出n阶行列式的概念.§1全排列及其逆序数先看一个例子.引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解这个问题相当于说，把三个数字分别放在百位、十位与个位上，有几种不同的放法？显然，百位上可以从1、2、3三个数字中任选一个，所以有3种放法；十位上只能从剩下的两个数字中选一个，所以有两种放法；个位上只能放最后剩下的一个数字，所以只有1种放法.因此，共有3216种放法.这六个不同的

2、三位数是：123，132，213，231，312，321.在数学中，把考察的对象，如上例中的数字1、2、3叫做元素.上述问题就是：把3个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？对于n个不同的元素，也可以提出类似的问题：把n个不同的元素排成一列，共有几种不同的排法？把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列.n个不同元素的所有排列的种数，通常用Pn表示.有引例的结果..可知P3=321=6.1为了得出计算Pn的公式，可以仿照引例进行讨论：从n个元素中任取一个放在第一个位置上，有n种取法；又从剩下的n－1个元素中任取一个放在第二个位置上，有n－1种取法；这样继续下去，直到最后只剩下

3、一个元素放在第n个位置上，只有1种取法.于是..…...Pn=n（n－1）321=n!.对于n个不同的元素，我们规定各元素之间有一个标准次序（例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序），于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就说有1个逆序.一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数.逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列.下面我们来讨论计算排列的逆序数的方法.不失一般性，不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序.设ppp12n为这n个自然数的一个排列，考虑元素p(i1,2,,n)，如果比pii大的且排在p前面

4、的元素有t个，就说p这个元素的逆序数是t.iiii全体元素的逆序数之总和ntt1t2tnti，i1即是这个排列的逆序数.例1求排列32514的逆序数.解在排列32514中，23排在首位逆序数为0；2的前面比2大的数只有一个“3”，故逆序数为1；5是最大数，逆序数为0；1的前面比1大的数有三个“3、2、5”，故逆序数为3；4的前面比4大的数只有一个“5”，故逆序数为1；于是排列的逆序数为t010315.§2n阶行列式的定义为了给出n阶行列式的定义，我们先研究三阶行列式的结构.三阶行列式定义为：aaa111213aaaaaaaaaaaa21222311223312

5、2331132132aaa313233aaaaaaaaa.(1)112332122133132231容易看出：①（1）式右边的每一项都恰是三个元素的乘积，这三个元素位于不同的行、不同的列.因此，（1）式右端的任意项除正负号外可以写成aaa.这里第一下标（称行标）排成标准排列123，而第1p12p23p3二个下标（称列标）排成ppp，它是1、2、3三个数的某个排列.123这样的排列共有6种，对应（1）式右端共含6项。②各项的正负号与列标的排列对照：带正号的三项列标排列是：123，231，312；带负号的三项列标排列是：132，213，321.经计算可知前三个排列都是偶排列，而后三个排列都是

6、奇排列.3t因此各项所带的正负号可以表示为(1)，其中t为列标排列的逆序数.总之，三阶行列式可以写成aaa111213ta21a22a23(1)a1p1a2p2a3p3，aaa313233其中t为排列p1p2p3的逆序数，表示对1、2、3三个数的所有排列p1p2p3取和.仿此，我们可以把行列式推广到一般情形.2定义设有n个数，排成n行n列的表aaa11121naaa21222naaan1n2nn,t作出表中位于不同行不同列的n个数的乘积，并冠以符号(1)；得到形如t(1)aaa(2)1p12p2npn的项，其中ppp为自然数1,2,,n的一个排列，t为这个

7、排列12n的逆序数.由于这样的排列共有n!个，因而形如（2）式的项共有n!项.4所有这n!项的代数和t(1)a1p1a2p2anpn称为n阶行列式，记作aaa11121naaa21222nD，aaan1n2nn简记作det(a).数a称为行列式的元素.ijij按此定义的二阶、三阶行列式，与对角线法则定义的二阶、三阶行列式，显然是一致的.当n1时，

8、a

9、a，注意这里

10、a