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1、等差数列一、引入（1）1，3，5，7，9，11，……（2）3，6，9，12，15，18，……（3）1，1，1，1，1，1，1，……（4）3，0，－3，－6，－9，－12，……问题：这些数列有何特点？分析：（1）3－1=2，5－3=2，7－5=2，9－7=2，……（2）6－3=3，9－6=3，12－9=3，15－12=3，……（3）1－1=0，1－1=0，1－1=0，1－1=0，……（4）0－3=－3，－6－（－3）=－3，－9－（－6）=－3，－12－（－9）=－3，……特点：从第2项起，每一项与前一项的差都
2、等于同一个常数（d=2）（d=3）（d=0）（d=－3）3、2等差数列一、等差数列的定义：一般地，如果一个数列从起，与的等于，那么这个数列就叫做等差数列。每一项它的前一项差同一个常数这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。定义另叙述：在数列{an}中，an＋1－an=d（n∈N*）,d为常数，则{an}是等差数列，常数d称为等差数列的公差。第2项注意：1、一个数列，不从第2项起，而是从第3项起或第4项起，每一项与它的前一项的差是同一个常数，此数列不是等差数列，但可以说从第2项起或第3项起是一个等差数列。
3、例如：（1）1，3，4，5，6，……（2）－1，0，12，14，16，18，20，……2、一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差尽管等 于一个常数，这个数列可不一定是等差数列，因为这些常 数可以不同，当常数不同时，当然不是等差数列，故定义 中“同一个常数”中“同一个”十分重要，切记不可丢掉。例如：－3，0，1，3，4，93、求公差d时，可d=an—an－1,也可以用d=an＋1－an4、公差d∈R，当d=0时，数列为常数列；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列。二、等差数列的通项公式：a
4、n=a1＋（n－1）d问题1：已知等差数列｛an｝的首项为a1，公差为d，求an解：由等差数列的定义可知：a2－a1=d,a3－a2=d,a4－a3=d,……则a2=a1＋da3=a2＋d=（a1＋d）＋d=a1＋2da4=a3＋d=（a1＋2d）＋d=a1＋3d……由此可知：an=a1＋（n－1）d当n=1时,a1=a1＋（1－1）d=a1等式成立这表明当n∈N*时，an=a1＋（n－1）d成立。等差数列的通项公式问题2：已知等差数列｛an｝中，公差为d，则an与ak（n,k∈N*）有何关系？答：由等差数列
5、的通项公式知此为等差数列的通项公式的变形公式.①②ak=a1＋（k－1）d由①－②得，an－ak=（n－k）d总结：通项公式：变形：an=a1＋（n－1）dan=a1＋（n－1）dan－ak=（n－k）d三、应用例1（1）求等差数列8，5，2，……的第20项？（2）－401是不是等差数列－5，－9，－13，……的 项，如果是，是第几项？分析：（1）由公式求指定项，先要找出首项a1、公差d、序号n，然后把它们代入公式，求出相应的项。（2）判断一个数是否是一个等差数列的项，与（1）题是相反的问题。关键要求出通项公
6、式，看是否存在正整数n，可使得an=－401解：（1）由a1=8,d=5－8=－3,n=20,得:a20=8＋（20－1）×（－3）=－49（2）由a1=－5,d=－9－（－5）=－4,得:an=－5＋（n－1）×（－4）即an=－4n－1由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得－401=－4n－1成立解这个关于n的方程，得n=100即－401是这个数列的第100项例2在等差数列｛an｝中，已知a5=10，a12=31，求首项a1与公差d？解：由题意可知a1＋4d=10a1＋11d=31即这个等差数列的首
7、项是－2，公差是3。a1=－2d=3∴另解：由an=ak＋（n－k）d,知例3梯子的最高一级宽33㎝，最低一级宽110㎝，中 间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间 各级的宽度。分析：要求梯子中间各级的宽度，必须知道各级宽度组 成的等差数列的公差，问题相当于已知等差数列首末两 项及项数（注意梯子的级数是10＋2）求公差d，利用通 项公式求解。a12=a5＋（12－5）d,即10＋7d=31解得d=3a5=a1＋（5－1）d10=a1＋4×3解得a1=－2即这个等差数列的首项是－2，公差是3∵∴解：用｛a
8、n｝表示梯子自上而下的各级宽度所成的等差数列。由已知条件，有a1=33,a12=110,n=12由通项公式，得a12=a1＋（12－1）d即110=33＋11d,解得d=7因此，a2=33＋7=40,a3=40＋7=47,a4=47＋7=54,a5=61,a6=68，a7=75,a8=82，a9=89,a10=96,a11=103答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是：40㎝，47㎝，54㎝，61㎝，
